Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sabemos que 2 + 2 = 2 x 2 e 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3.
Minha dúvida: Será que existem outros números inteiros positivos cuja soma seja igual ao produto? (O número 1 não pode aparecer mais de uma vez entre os números dados.)
Excluo, portanto, a infinidade de soluções obtidas com a repetição do número 1. Por exemplo:
1 + 1 + 2 + 4 = 1 x 1 x 2 x 4
1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 1 x 1 x 1 x 2 x 5
Abraços do Paulo!

Não, não existem.

O que queremos ver é se existem naturais \(a_1,\dots ,a_n\) maiores que um tais que \(a_1+\dots +a_n=a_1\times \cdots\times a_n\) ou \(a_1+\dots +a_n=a_1\times \cdots\times a_n -1\) (neste último caso teríamos \(1+a_1+\dots +a_n=1\times a_1\times \cdots\times a_n\)).
Se \(n\geq 3\) tal não é possível pois \(n\geq 3 \Rightarrow n+1\leq 2^{n-1}\) e
assumindo que \(a_1\) é o maior dos \(a_i's\) temos que
\(a_1+\dots +a_n\leq na_1 <na_1+1\leq (n+1)a_1 -1\leq 2^{n-1}a_1 -1 \leq a_1\times \cdots\times a_n -1\).

Para \(n=2\) temos que o menor dos \(a_i's\) (suponhamos \(a_2\)) terá que ser igual a 2. Caso contrário teríamos \(a_1\times a_2 -1\geq 3a_1 -1=2a_1 +a_1-1 >2a_1 \geq a_1+a_2\).

Reduzimos assim a nossa pesquisa às equações \(a+2=2a-1\) ou \(a+2=2a\) donde se tira os exemplos que você apresentou.