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| Aritmética Modular https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=2599 |
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| Autor: | Pedro Silveira [ 24 mai 2013, 16:34 ] |
| Título da Pergunta: | Aritmética Modular |
Olá, senhores alguém poderia esclarecer esta dúvida de Aritmética modular para mim? Obrigado. Sabendo que n é múltiplo de 4, determine o resto da divisão de: \(1^{n}\hspace{1}+\hspace{1}2^{n}\hspace{1}+\hspace{3}...\hspace{3}+\hspace{1}9^{n}\hspace{5}por\hspace{5}10.\) Eu tentei dessa forma: \(<br />1^{n} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 1 (mod\hspace{5}10)<br /> 2^{4} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 6 (mod\hspace{5}10) <br /> (3^{4})^{k} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 1 (mod\hspace{5}10)\Rightarrow 3^{4k} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 1 (mod\hspace{5}10) \Rightarrow 3^{n} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 1 (mod\hspace{5}10) <br /> 4^{2} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 6 (mod\hspace{5}10)\) A partir daí eu fiquei sem ideia... |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 25 mai 2013, 00:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Aritmética Modular |
Pelo teorema de Fermat das congruências: \(a^{p-1}\equiv 1 (mod p)\) se \(a\not\equiv 0 (mod p)\) temos que \(k^4\equiv 1 (mod 5)\) para \(1\leq k\leq 9\) com \(k\not= 5\). Assim \(1^n+2^n+\dots +9^n\equiv 1+1+1+1+0+1+1+1+1 \equiv 3 (mod 5)\) Logo \(1^n+2^n+\dots +9^n\equiv 3 \mbox{ ou } 8 (mod 10)\) Mas como \(1^n+2^n+\dots +9^n\) é ímpar temos necessariamente que \(1^n+2^n+\dots +9^n\equiv 3 (mod 10)\) |
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| Autor: | Pedro Silveira [ 25 mai 2013, 03:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Aritmética Modular |
Muito obrigado pela ajuda Rui Carpentier! |
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