Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Oi pessoal,

O exercício diz:

Sendo que

\(a+b+c=0\)

Provar que

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc\)


Bom pessoal, analisei o problema durante alguns instantes e vi uma passo para iniciar. O único jeito de conseguir o cubo de cada termo seria através de um cubo do trinômio. Como não sei essa propriedade, dividi o cubo do trinômio em um quadrado do trinômio pelo trinômio:

\((a+b+c).(a+b+c)^{2}=0\)

E então prossegui o exercício, isolei os termos a³+b³+c³ de um lado da equação e passei os valores(que ficaram negativos) para o outro lado da equação. Porém não prossegui, pois ficou muito extenso.

Gostaria de saber se minha abordagem perante o problema está correta. Caso positivo, vou tentar novamente. Caso negativo e minha resolução estiver muito distante do ideal, por favor, exponham-me a resolução do exercício.

Obrigado.

Olá, boa noite.

A minha sugestão é:

\(a + b + c = 0\) então \(a + b = -c\).

Então eleve ao cubo ambos os membros da última expressão e desenvolva que a resposta vem.

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Fraol
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Oi fraol,

Dê uma olhada na minha resolução, por favor.

\(a+b=-c\)

\((a+b)^{3}=-c^{3}\)

\(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=-c^{3}\)

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=-3a^{2}b-3ab^{2}\)

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=-3ab(a+b)\)

Porém

\(a+b=-c\)

Logo

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=-3ab(-c)\)

Então

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc\)

Bastante simples! A gente sempre espera o modo mais difícil de se fazer o exercício, não né? Basta visualizar e tudo se resolve. Gostaria de saber se pela visão que havia descrito no começo também conseguiria encontrar a mesma resposta, embora de um modo muito mais trabalhoso.

Muito obrigado, fraol.

Oi vestibulando123,

A sua resolução ficou muito bonita, bem didática.

Quanto ao desenvolvimento inicial que você esboçou, eu não segui por ele pois me pareceu que o cachorro ia ficar correndo atrás do rabo, isto é, sem desenvolver, creio que voltaríamos para \(a + b + c = 0\) . Mas se você tiver algum tempo poderia quebrar a cabeça um pouco, quem sabe não sai algum jeito diferente de resolver.

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Fraol
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