| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Desafio https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=3007 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | vestibulando123 [ 02 jul 2013, 18:13 ] |
| Título da Pergunta: | Desafio [resolvida] |
Não consegui resolver! Sendo: \(x = \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} + (2-\sqrt{3})^{1997}}{2}\) e \(y = \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997}}{\sqrt{3}}\) Calcular: \(E = 4x^{2} - 3y^{2}\) |
|
| Autor: | Mauro [ 02 jul 2013, 19:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio |
vestibulando123 Escreveu: Não consegui resolver! Sendo: \(x = \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} + (2-\sqrt{3})^{1997}}{2}\) e \(y = \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997}}{\sqrt{3}}\) Calcular: \(E = 4x^{2} - 3y^{2}\) Caro vestibulando123, pela quantidade de postagens, você está com muita dificuldade. Par que possamos orientá-lo, poderia nos mostrar até onde você foi para resolver este problema, por exemplo? Abração Mauro |
|
| Autor: | vestibulando123 [ 02 jul 2013, 20:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio |
Oi Mauro, Na verdade, esses exercícios são de uma seção considerada mais difícil para quem vai prestar ITA e consegui fazer metade delas. Os que postei aqui, não consegui. Comparando com um aluno de ensino médio, minha visão até que e boa e tenho bom domínio sobre produtos notáveis a fatoração, mas é que esses exercícios pegam pesado para mim. Nesse exercício, pensei em iniciar com uma diferença de quadrados, deixando o expoente 2 para fora do parênteses, mas 1997 não é um número par. Estou com muita dificuldade. Obrigado. |
|
| Autor: | Mauro [ 02 jul 2013, 20:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio |
vestibulando123 Escreveu: Não consegui resolver! Sendo: \(x = \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} + (2-\sqrt{3})^{1997}}{2}\) e \(y = \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997}}{\sqrt{3}}\) Calcular: \(E = 4x^{2} - 3y^{2}\) Caro vestibulando123, eu não estou seguro do desenvolvimento e nem sei se errei a aritmética da coisa. Vamos limpar o cenário para ver o que podemos simplificar aqui. Faremos \(a=(2+\sqrt{3})^{1997}\) \(b=(2-\sqrt{3})^{1997}\) Assim, a expressão original ficaria \(x=\frac{a+b}{2}\) e \(y=\frac{a-b}{\sqrt{3}}\) Vamos aplicar isto em \(E=4x^2-3y^2\) \(E=4(\frac{a+b}{2})^2-3(\frac{a-b}{\sqrt{3}})^2\) \(E=4\frac{(a+b)^2}{4}-3\frac{(a-b)^2}{3}\) \(E=(a+b)^2-(a-b)^2\) \(E=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)\) \(E=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\) \(E=4ab\) Também fiquei empacado aqui: \(E=4(2+\sqrt{3})^{1997}(2-\sqrt{3})^{1997}\) |
|
| Autor: | vestibulando123 [ 03 jul 2013, 00:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio |
Muito interessante sua execução Mauro. Também estou procurando uma solução, mas não me parece simples. |
|
| Autor: | lucasmb254 [ 03 jul 2013, 00:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio |
Pessoal, vcs já fizeram o exercício, só falta o mais simples... \(E=4(2+\sqrt{3})^{1997}(2-\sqrt{3})^{1997}=4[(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})]^{1997}=4(4-3)^{1997}=4\) FIM! bonito o exercício |
|
| Autor: | danjr5 [ 03 jul 2013, 01:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio |
Boa noite a todos! Segue outra forma de resolver o mesmo problema: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) Vejam: \(E = 4x^2 - 3y^2\) \(E = (2x + y\sqrt{3})(2x - y\sqrt{3})\) \(E = \left [ 2 \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997}}{\sqrt{3}} \right ]\left [ 2 \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997}}{\sqrt{3}} \right ]\) \(E = \left [ (2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997} + (2 + \sqrt{3})^{1997} - (2 - \sqrt{3})^{1997} \right ]\left [ (2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997} - (2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997} \right ]\) \(E = \left [ (2 + \sqrt{3})^{1997} + (2 + \sqrt{3})^{1997} \right ]\left [ (2 - \sqrt{3})^{1997} + (2 - \sqrt{3})^{1997} \right ]\) \(E = \left [ 2(2 + \sqrt{3})^{1997} \right ]\left [ 2(2 - \sqrt{3})^{1997} \right ]\) \(E = 4 \cdot (2 + \sqrt{3})^{1997} \cdot (2 - \sqrt{3})^{1997}\) \(E = 4 \cdot \left ( 4 - 3 \right )^{1997}\) \(\fbox{E = 4}\) |
|
| Autor: | vestibulando123 [ 03 jul 2013, 22:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio |
Muito interessante sua resolução também, danjr5! Incrível como exercícios impossíveis ficam fáceis depois que pegamos o jeito. Estou aprendendo muito no fórum. Obrigado. |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|