Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sendo

\(f(a,b) = 2a^{2} + 5ab + 2b^{2}\)

Calcular

\(f(\sqrt{6} +\sqrt{5}, \sqrt{6} - \sqrt{5})\)

Aqui no meu computador, a última figura aparece um ponto, indicando multiplicação de binômios. Na verdade, é uma vírgula que separa os binômios.

Qual é a dificuldade?
Não é só substituir e simplificar?
Se conhece a fórmula da diferença de dois quadrados, parece-me trivial.
(ou será que está à espera que lhe façam os trabalhos de casa?... )

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Napoléon Bonaparte: «L'art d'être tantôt très audacieux et tantôt très prudent est l'art de réussir.»

Dou explicações, se não for presencialmente por Skype. Contacte-me.

Oi,

De modo algum! Gostaria de ver a resolução do pessoal do fórum, pois meus resultados são distintos com a resposta do livro. Meus resultados sempre mostram E=49 enquanto o livro diz que E=319. Gostaria de saber em que momento estou errando nos cálculos ou se o resultado do livro está incorreto.

Olá vestibulando123,
como esse é o nosso 1º contato, saiba que és bem-vindo!!



\(f(a, b) = 2a^2 + 5ab + b^2\)

\(f(\sqrt{6} + \sqrt{5}, \sqrt{6} - \sqrt{5}) = 2(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 + 5 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2\)

\(f(\sqrt{6} + \sqrt{5}, \sqrt{6} - \sqrt{5}) = 2(6 + 2\sqrt{30} + 5) + 5(6 - 5) + (6 - 2\sqrt{30} + 5)\)

\(f(\sqrt{6} + \sqrt{5}, \sqrt{6} - \sqrt{5}) = 22 + 4\sqrt{30} + 5 + 11 - 2\sqrt{30}\)

\(\fbox{f(\sqrt{6} + \sqrt{5}, \sqrt{6} - \sqrt{5}) = \fbox{38 + 2\sqrt{30}}}\)

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Oi danjr5,

Muito legal sua resolução!

Veja o que acha da minha:

1. Desmembrando o quíntuplo do produto ab

\(f(a,b)= 2a^{2} +4ab +ab + 2b^{2}\)

1.1. Fatoração por agrupamento, agrupando os termos convenientemente

\(f(a,b)= 2a^{2} +4ab + 2b^{2}+ab\)

\(f(a,b)= 2a^{2} +2ab +2ab + 2b^{2}+ab\)

\(f(a,b)= 2a(a+b)+2b(a+b)+ab\)

\(f(a,b)=(a+b).(2a+2b)+ab\)

\(f(a,b)=(a+b).2.(a+b)+ab\)

\(f(a,b)=2.(a+b)^{2}+ab\)


1.2. Outro modo de fatoração é a regra prática, pois observa-se um quadrado perfeito do binômio

\(f(a,b)=2a^{2} + 4ab + 2b^{2}+ab\)

\(f(a,b)=(a\sqrt{2}+b\sqrt{2})^{2}+ab\)

2.1. Prosseguindo o exercício através da primeira fatoração

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= 2.(\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{6}+\sqrt{5}).(\sqrt{6}-\sqrt{5})\)

2.1.2. Simplificando e aplicando diferença de quadrados

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= 2.(2\sqrt{6})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= 2.4.6+6-5\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= 48+1\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= 49\)

2.2. Prosseguindo o exercício através da segunda fatoração

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= (a\sqrt{2}+b\sqrt{2})^{2}+ab\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= [(\sqrt{6}+\sqrt{5).}\sqrt{2}+(\sqrt{6}-\sqrt{5})\sqrt{2}]^{2}+1\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= (\sqrt{12}+\sqrt{10}+\sqrt{12}-\sqrt{10})^{2}+1\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= (2\sqrt{12})^{2}+1\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= 4.12+1\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= 48+1\)

\(f(\sqrt{6}+\sqrt{5},\sqrt{6}-\sqrt{5})= 49\)


Pois bem, esses foram meus métodos e cálculos para o exercícios. Estão corretos? Porque meu resultado é diferente do seu e do resultado do livro?

Abraço!

Vestibulando123,
boa noite!

1ª fatoração: destaquei a parte errônea.



2ª fatoração: estaria correta se o coeficiente de \(b^2\) tivesse \(2\) no enunciado; mas, não tem!

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Oi danjr, boa noite!

Estou editando a mensagem, pois fui refazer o exercício no livro e percebi que realmente o correto é 2b². Já editei na primeira mensagem. Desculpe o descuido.

Muito obrigado pela ajuda.