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| Desafio: Fatoração https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=3024 |
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| Autor: | vestibulando123 [ 03 jul 2013, 23:26 ] |
| Título da Pergunta: | Desafio: Fatoração [resolvida] |
Oi pessoal, O exercício diz: Sendo que \(a+b+c=0\) Provar que \(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc\) Bom pessoal, analisei o problema durante alguns instantes e vi uma passo para iniciar. O único jeito de conseguir o cubo de cada termo seria através de um cubo do trinômio. Como não sei essa propriedade, dividi o cubo do trinômio em um quadrado do trinômio pelo trinômio: \((a+b+c).(a+b+c)^{2}=0\) E então prossegui o exercício, isolei os termos a³+b³+c³ de um lado da equação e passei os valores(que ficaram negativos) para o outro lado da equação. Porém não prossegui, pois ficou muito extenso. Gostaria de saber se minha abordagem perante o problema está correta. Caso positivo, vou tentar novamente. Caso negativo e minha resolução estiver muito distante do ideal, por favor, exponham-me a resolução do exercício. Obrigado. |
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| Autor: | Fraol [ 04 jul 2013, 00:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio: Fatoração |
Olá, boa noite. A minha sugestão é: \(a + b + c = 0\) então \(a + b = -c\). Então eleve ao cubo ambos os membros da última expressão e desenvolva que a resposta vem. |
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| Autor: | vestibulando123 [ 04 jul 2013, 01:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio: Fatoração |
Oi fraol, Dê uma olhada na minha resolução, por favor. \(a+b=-c\) \((a+b)^{3}=-c^{3}\) \(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=-c^{3}\) \(a^{3}+b^{3}+c^{3}=-3a^{2}b-3ab^{2}\) \(a^{3}+b^{3}+c^{3}=-3ab(a+b)\) Porém \(a+b=-c\) Logo \(a^{3}+b^{3}+c^{3}=-3ab(-c)\) Então \(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc\) Bastante simples! A gente sempre espera o modo mais difícil de se fazer o exercício, não né? Basta visualizar e tudo se resolve. Gostaria de saber se pela visão que havia descrito no começo também conseguiria encontrar a mesma resposta, embora de um modo muito mais trabalhoso. Muito obrigado, fraol. |
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| Autor: | Fraol [ 04 jul 2013, 02:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desafio: Fatoração |
Oi vestibulando123, A sua resolução ficou muito bonita, bem didática. Quanto ao desenvolvimento inicial que você esboçou, eu não segui por ele pois me pareceu que o cachorro ia ficar correndo atrás do rabo, isto é, sem desenvolver, creio que voltaríamos para \(a + b + c = 0\) . Mas se você tiver algum tempo poderia quebrar a cabeça um pouco, quem sabe não sai algum jeito diferente de resolver. |
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