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| Problema torneio https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=3058 |
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| Autor: | Paratinguetá [ 06 jul 2013, 21:43 ] |
| Título da Pergunta: | Problema torneio |
Em um torneio de volleyball com 14 times, jogam um contra o outro cada exatamente uma vez mas não ocorre empates. Provar que é possível escolher três times para os quais qualquer um dos outros onze jogadores perdeu para pelo menos um desses três. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 07 jul 2013, 22:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Problema torneio |
Vamos primeiro fixar o seguinte resultado: Proposição: Num torneio com n equipas há pelo menos um "team" (equipa em português de Portugal) t com um número de vitórias V(t) maior ou igual a \(\frac{n-1}{2}\). Demonstração: Há \({n \choose 2}=\frac{n(n-1)}{2}\) partidas/vitórias no total logo a média de vitórias por equipa é \(\frac{n-1}{2}\), como tal, há pelo menos um team com um número de vitórias V(t) maior ou igual a \(\frac{n-1}{2}\). (FIM) Assim sendo, dados os 14 teams podemos escolher para primeiro team \(t_1\) um tal que \(V(t_1)\geq 7\) (existe pois a 7 é o menor natural maior que \(\frac{13}{2}\)). De entre as (no máximo) 6 equipas que podem ter ganho a \(t_1\) escolhemos uma \(t_2\) tal que tenha ganho a 3 das outras (existe uma pois a média entre elas é \(\frac{5}{2}\)). Finalmente de entre as no máximo duas equipas que possam ter ganho a \(t_1\) e \(t_2\) escolhemos a vencedora de entre elas \(t_3\). Então \(t_1, t_2,\) e \(t_3\) são as três equipas que satisfazem a condição pedida. |
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