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| Se a+b+c=0, podemos dizer que (a²+b²+c²)² é https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=3134 |
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| Autor: | vestibulando123 [ 16 jul 2013, 15:46 ] |
| Título da Pergunta: | Se a+b+c=0, podemos dizer que (a²+b²+c²)² é [resolvida] |
Oi pessoal, Estou com uma dificuldade considerável nesse exercício. Se\(a+b+c=0\) \((a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=?\) Pois bem, pensei em vários caminhos e, após algumas tentativas, percebi que o melhor caminho seria o quadrado do trinômio. \((a+b+c)^{2}=0\) \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc=0\) \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2.(ab+ac+bc)=0\) \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2.(ab+ac+bc)\) Novamente, um quadrado do trinômio \((a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=[-2.(ab+ac+bc)]^{2}\) \((a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4.(ab+ac+bc)^{2}\) \((a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4.(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+2a^{2}bc+2ab^{2}c+2abc^{2})\) Não consigo prosseguir, pessoal. Obrigado. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 17 jul 2013, 17:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Se a+b+c=0, podemos dizer que (a²+b²+c²)² é |
Não percebo bem o que se pede na questão. Se se trata de determinar os possíveis valor de \((a^2+b^2+c^2)^2\) sobe a condição \(a+b+c=0\) então a resposta é todos os valores reais não-negativos. Isto porque \((a^2+b^2+c^2)^2=||(a,b,c)||^4\) é a quarta potência do comprimento do vetor \((a,b,c)\), e \(a+b+c=0\) define um subespaço de \(R^3\) (contem vetores de todos os tamanhos de zero a mais infinito). Se se trata de definir a expressão \((a^2+b^2+c^2)^2\) em função de variáveis livres (a e b por exemplo) então basta fazer a substituição \(c=-a-b\) e obtem-se \((a^2+b^2+(-a-b)^2)^2=4[a^4+b^4+3(ab)^2+2ab(a^2+b^2)]\). PS- o editor de tex não estava a funcionar neste post. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 17 jul 2013, 19:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Se a+b+c=0, podemos dizer que (a²+b²+c²)² é |
Olá professor Muito obrigados pela contribuição. Por vezes o tex não funciona para numerais isolados, por exemplo 1+1=2 pode não funcionar. É um pequeno bug. Neste caso basta colocar parêntesis à volta dos numerais, ou seja {1+1}={2} o que dá \({1+1}={2}\) Muito obrigados |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 17 jul 2013, 21:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Se a+b+c=0, podemos dizer que (a²+b²+c²)² é |
Citar: Por vezes o tex não funciona para numerais isolados, por exemplo 1+1=2 pode não funcionar. É um pequeno bug. Neste caso basta colocar parêntesis à volta dos numerais, ou seja {1+1}={2} o que dá \({1+1}={2}\). Caro João, Obrigado pela informação que pode vir a ser útil no futuro. No entanto não sei se o problema era esse, simplesmente não surgia o editor de tex, \(\left[tex\right]\left[/tex\right]\) ao clicar o botão tex. PS- Provavelmente teria resultado ter escrito \(\left[tex\right]\) antes da expressão e \(\left[/tex\right]\) a finalizar mas não me lembrei de tal. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 17 jul 2013, 22:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Se a+b+c=0, podemos dizer que (a²+b²+c²)² é |
Ok professor Tentarei ver, se o problema se volta a repetir para tentar encontrar uma resolução. Mais uma vez, muito obrigados pela magna contribuição. Confesso que já tinha olhado para o problema, mas não consegui dar com o resultado, mas numa ótica de espaços lineares realmente é bem mais compreensível Muito obrigados |
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| Autor: | vestibulando123 [ 19 jul 2013, 18:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Se a+b+c=0, podemos dizer que (a²+b²+c²)² é |
Muito obrigado pela contribuição, professor Rui Carpentier! |
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