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| Indução Finita https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=3199 |
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| Autor: | Man Utd [ 25 jul 2013, 23:35 ] |
| Título da Pergunta: | Indução Finita |
Sendo \(n\geq 2\),então prove que \(n!>(\frac{n}{3})^{n}\) . provando para n=1: 1!>(1/3)^1 1>1/3------verdadeiro supondo que a hipótese é verdadeira para n=k: \(k!>(\frac{k}{3})^{k}\) Devemos provar para n=k+1: \((k+1)!>(\frac{k+1}{3})^{k+1}\) Partindo da Hipótese e multiplicando os dois lados por \((k+1)\) (já que sabemos que é sempre positivo): \(\\\\ (k+1)k!>(\frac{k}{3})^{k}*(k+1) \\\\ (k+1)!>(\frac{k}{3})^{k}*(k+1)\) não to conseguindo sair desta parte,algumas dicas? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 26 jul 2013, 01:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Indução Finita [resolvida] |
Uma dica. Poderá encontrar num bom texto de Cálculo/Análise Matemática a demonstração do facto (não-trivial) de que a sucessão \(\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\) é crescente com limite \(e<3\). Como consequencia, temos que a sua inversa \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\) é decrescente com limite \(e^{-1}>\frac{1}{3}\). Sabendo isto o exercício desata-se observando que \(\left(\frac{k}{3}\right)^k=\left(\frac{k+1}{3}\right)^k\left(\frac{k}{k+1}\right)^k\). Depois disto é fácil prosseguir. |
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