Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa Tarde!

Tenho o problema abaixo para ser resolvido, mas não consigo desenvolvê lo. Peço auxílio aos colegas na sua resolução. Obrigado!

Alexandre

Caro Alexandre, eu vou dar uma volta muito grande e tentar resolver por álgebra. Se eu estiver correto, a resposta será a última opção, a letra 'd':

Pensei na data de hoje, como data hipotética para base de cálculo. Vou chamar hoje como 'h'.

Assim, o hoje vale tanto para Eva quanto para Roberto.

Para Eva:

\((h-7) - 8a = 0 \text{ (1)}\)

Isto porque 7 anos antes da data de hoje (h) era um ano múltiplo de 8. Então fazendo a operação inversa da divisão por 8 encontrarei aqueles anos. A diferença entre os dois valores é, naturalmente, zero. O quociente da divisão por 8 eu não sei e chamei de 'a'.

Eva também será

\((h + 8) - 7b = 0\)

Isto porque 8 anos à frente da data de hoje (h) será um ano múltiplo de 7. Então fazendo a operação inversa da divisão por 7 encontrarei aqueles anos. A diferença entre os dois valores é, naturalmente, zero. O quociente da divisão por 7 eu não sei e chamei de 'b'.

Para Roberto, temos uma situação parecida:

\((h - 8) - 7c = 0\)
e
\((h - 7) - 8d = 0\)

Algumas situações interessantes devem ser apreciadas:
a) todas as equações resultam em zero.
b) a soma a+b e a soma c+b resultam em 15.

Assim, para Eva

\(h-7-8a=h+8-7b=0\)

ou

\(h-7-8a-h-8+7b=0\)

\(7b-8a=15\text{ (2)}\)

Sabemos também que

\(a+b=15\)

logo

\(a=15-b\)

Em (2)

\(7b-8(15-b)=15\)

que resulta

\(b=9\)

e, por consequência,

\(a=6\)

Agora que sabemos 'a' e 'b', podemos voltar em (1):

\((h-7) - 8 \times 6 = {0}\)

\(h-7 - 48 = {0}\)

\(h={55}\)

Se o ano hipotético equivalente a hoje vale 55, então, para Eva, 7 anos antes

55-7=48

e para Roberto, 8 anos antes,

55-8=47.

As idades per si não são superiores a 100 anos e nem sua soma.

Roberto é 1 ano mais novo que Eva.

Será que acertei?

Abração,
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Boa noite, Mauro!

Antes de qualquer coisa, agradeço pela ajuda ao dar atenção e disponibilizar o seu valioso tempo na resolução deste problema. O gabarito da questão é a letra A. O desenvolvimento de sua questão é muito bem feito, só não entendi quando você cosiderou "h" como sendo data atual, pois, quando colocada na equação, em meu entendimento, ela representa a idade da pessoa e não uma data (posso estar errado) daí talvez a possibilidade de não ter dado a resposta do gabarito. Em cima de seu raciocínio vou continuar tentando.

Um Grande Abraço!!!

Alexandre

Caro Alexandre, está errado mesmo. Uma simples verificação se vê que a idade de Roberto não combina o número dado para satisfazer aos múltiplos.
Peço desculpas.

Vou continuar tentando.

Abração,
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Caro Alexandre, refazendo tudo. (Editado mais uma vez)

Façamos, como sugerido por você, a idade de Eva como 'E' e 'R' para Roberto as procuradas.

Então, para Eva, temos

\((E-7)-8a = 0\)

e

\((E+8)-7b = 0\)

Isto que dizer que

\(E-7-8a=E+8-7b=0\)

\(7b-8a=15 \text{ (1)}\)

Como a+b=15

\(a=15-b\)

Vamos aplicar isto em (1):

\(7b-8\times(15-b)=15\)

\(b=9\)

Logo,

\(a={6}\)

Pegando o primeiro dado de Eva:

\((E-7)-8 \times 6={0}\)

vem que
\(E={55}\)

Agora vamos ao Roberto:

\((R-8)-7c={0}\)

e

\((R+7)-8d=0\)

\((R-8) -7c = (R+7)-8d\)

\(8d-7c={15} \text{ (2)}\)

\(c=15-d\)

Aplicando em (2)

\(8d - 7(15-d)={15}\)

\(8d+7d={120}\)

\(d={8}\)

Logo, c=7.

Pegando o primeiro dado de Roberto,

\((R-8)-7c={0}\)

\((R-8)-7 x 7 ={0}\)

\(R={57}\)

Assim, realmente a resposta é mesmo a letra 'A'. Roberto tem 2 anos a mais que Eva.

Espero ter sido lógico agora(!),

abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Boa Noite, Mauro !

No desenvolvimento da questão, utilizei o seu raciocínio e cheguei a mesma conclusão que você, dando o resultado correto .

Agradeço muito, mais uma vez, o tempo e atenção dispensada . Um grande abraço!

Alexandre