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Provar que n(n+1)(2n+1) é múltiplo de 6 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=372 |
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Autor: | marques_gc [ 15 mai 2012, 01:57 ] |
Título da Pergunta: | Provar que n(n+1)(2n+1) é múltiplo de 6 |
Olá a todos, Faz dias que não consigo resolver este exercício. Toda ajuda é bem vinda: Exercício: Utilizando a congruências e disjunção de casos, mostre que para todo inteiro natural, n\(\in\)N, o inteiro \(n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )\) é multiplo de 6. Obrigado antecipado pela ajuda |
Autor: | marques_gc [ 15 mai 2012, 14:00 ] |
Título da Pergunta: | Re: Aritmética n(n+1)(2n+1) |
Ola amigos, Continuo procurar uma resolução do exercício, no qual o meu raciocino sem convicção me leva a seguintes passos: Para todo inteiro natural n E N, o inteiro n (n+1) (2n+1) é múltiplo de 6 Os números 2 e 3 são múltiplos de 6 Os números 2 e 3 são divisores de 6 Em-seguida, como n é par, então a expressão é múltiplo de 2. Ate pude chegar... |
Autor: | João P. Ferreira [ 15 mai 2012, 14:27 ] |
Título da Pergunta: | Re: Aritmética n(n+1)(2n+1) |
Os números 2 e 3 NÃO são múltiplos de 6, são divisores de 6 Tente com indução matemática, i.e. Para n=1 é múltiplo de 6 \(1(1+1)(2.1+1)=6\) é múltiplo de 6 Agora faça Se é válido para \(n\), também é válido para \(n+1\) Ou seja, considerando que \(n(n+1)(2n+1)\) é múltlipo de 6, prove que: \((n+1)(n+2)(2(n+1)+1)\) também é múltiplo de 6 OU então: porque que é simultaneamente múltiplo de 3 e múltiplo de 2 (número par), e então será múltiplo de 6 Saudações |
Autor: | marques_gc [ 15 mai 2012, 16:30 ] |
Título da Pergunta: | Re: Aritmética n(n+1)(2n+1) |
Obrigado pela ajuda. Bem! vou tentar seguir o teu conselho, e acho que temos 2 possibilidades? Seja, escolho está : Simultaneamente, o múltiplo de 3 e múltiplo de 2 (número par), então será múltiplo de 6 Si não ando errado outra vez. Digo que 3 casos são possíveis pela aplicação da congruência modulo de 3, no qual: Si n=3K para um k inteiro natural Si n=3k+1 para um K inteiro natural Si n=3k+2 para um K inteiro natural Si \(n=3k\Longrightarrow n\left 3k( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )=3k'\) Si \(n=3k+1 \Longrightarrow 2n+1=6k+3\) e \(3k\left ( n+1 \right )\left ( 2k+1 \right )=3k''\) Si \(n=3k+2 \Longrightarrow n+1=3k+3\) e \(3n\left ( k+1 \right )\left ( 2n+1 \right )=3k'''\) Espero que é isso? Obrigado sem fim... |
Autor: | marques_gc [ 17 mai 2012, 11:22 ] |
Título da Pergunta: | Re: Aritmética n(n+1)(2n+1) |
Boas João, Reconheço de uma forma geral que tenho um nível fraco na matemática, mas tento aprender no máximo e há situações em que não consigo sozinho e claro faço um recorrido a este SUPER forum. Mais uma vez, necessito da vossa ajuda para terminar este exercício... teu ou de qualquer outra pessoa utilizador deste forum... Agradeço desde já e de coração qualquer ajuda. |
Autor: | Rui Carpentier [ 20 mai 2012, 16:53 ] |
Título da Pergunta: | Re: Aritmética n(n+1)(2n+1) |
Pode ser feito da seguinte maneira. Um número é múltiplo de 6 se e só se é múltiplo de 2 e de 3. \(n(n+1)(2n+1)\) é múltiplo de 2 (resp. 3) se pelo menos um dos três termos do produto é múltiplo de 2 (resp. 3). Isto é uma propriedade geral dos números primos (que é o caso de 2 e 3), \(a\times b\) é múltiplo de \(p\) primo se e só se \(a\) ou \(b\) (um deles ou os dois) é múltiplo de \(p\). \(n(n+1)\) é múltiplo de 2 porque ou n ou n+1 é par. Logo \(n(n+1)(2n+1)\) é par. \(n(n+1)\) só não é múltiplo de 3 quando \(n=3k+1\) e \(n+1=3k+2\) (caso contrário teríamos \(n\) múltiplo de 3 ou \(n+1\) múltiplo de 3). Mas neste caso temos que \(2n+1=6k+3\) logo múltiplo de 3. Portanto temos \(n(n+1)(2n+1)\) múltiplo de 3. |
Autor: | marques_gc [ 21 mai 2012, 02:31 ] |
Título da Pergunta: | Re: Provar que n(n+1)(2n+1) é múltiplo de 6 [resolvida] |
Ola Rui, Foi com muita satisfação com que recebi a tua mensagem, muito obrigado por tudo... Tive muitas dificuldades em compreender o principio do referido exercício. A tua resposta me parece lógico. Obrigado mais uma vez e ate próxima. |
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