02 jun 2012, 23:31
Sendo n e k inteiros positivos, com n maior ou igual a \(5^k\), como podemos provar
que o quociente da divisão euclidiana de n por \(2^k\) é maior do que o quociente da
divisão euclidiana de n por \(5^k\)?
Editado pela última vez por
danjr5 em 03 jun 2012, 01:52, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Latex
03 jun 2012, 02:08
Considere \(d'\) o quociente da divisão de n por \(2^k\) e \(d''\) o quociente de n por \(5^k\).
Tem-se:
\(n = 2^k . d'\)
e,
\(n = 5^k . d''\)
Igualando...
\(2^k . d' = 5^k . d''\)
\(\frac{d'}{d''} = \frac{5^k}{2^k}\)
Temos uma proporção, podemos fazer \(d' = 5^k\) e \(d'' = 2^k\)
Uma vez que, \(k \in \mathbb{Z}_+\) podemos concluir que \(5^k > 2^k\).
Logo,
\(d' > d''\)
03 jun 2012, 11:29
Caro danjr5,
Creio que há um probleminha na resolução apresentada.
O enunciado não permite concluir que d' = 5^k e d" = 2^k.
Aliás, o enunciado nem sequer permite escrever:
n = d' . 2^k e n = d". 5^k
pois a divisão euclidiana pode apresentar resto diferente de zero.
03 jun 2012, 15:02
O melhor é provar por indução:
1) Provar que para para \(n=n_0\) é verdade
2) Se for verdade para \(n \geq n_0\), então é verdade para \(n+1\)
NOTA: neste caso \(n_0\) é igual a \(5^k\) já que n é maior ou igual que este número
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1) Se \(n=n_0=5^k\), então
\(\frac{n}{5^k}=1\)
e
\(\frac{n}{2^k}=\frac{5^k}{2^k}=(\frac{5}{2})^k \geq 1 = \frac{n}{5^k}\)
2) Assumimos que é verdade para n, ou seja
\(\frac{n}{2^k}\geq \frac{n}{5^k}\) HIPOTESE
então
\(\frac{n+1}{2^k}= \frac{n}{2^k}+\frac{1}{2^k}\) (1)
o que, usando a HIPOTESE,
\(\frac{n}{2^k}+\frac{1}{2^k} \geq \frac{n}{5^k}+\frac{1}{2^k}\)
Para além disso, sendo k positivo, temos que
\(\frac{1}{2^k} \geq \frac{1}{5^k}\)
donde concluímos que
\(\frac{n}{5^k}+\frac{1}{2^k} \geq \frac{n}{5^k}+\frac{1}{5^k} = \frac{n+1}{5^k}\) (2)
Ou seja, resumindo,
\(\frac{n+1}{2^k} \geq \frac{n+1}{5^k}\) de (1) e (2)
Ou seja, acabámos de provar que se a proposição é válida para n é válida para n+1, para n maior ou igual que \(5^k\)
Verificámos então os dois pontos da prova por indução, e provámos assim o resultado
04 jun 2012, 14:39
Caro José Sousa,
Agradeço-lhe a atenção.
Parece-me que a resolução não corresponde ao problema proposto, que trata de divisão euclidiana (há quociente e resto, portanto).
Um abração do Paulo Argolo.
04 jun 2012, 15:09
Note que no problema fala-se do quociente da divisão euclidiana.
Argolo Escreveu:Sendo n e k inteiros positivos, com n maior ou igual a \(5^k\), como podemos provar
que o quociente da divisão euclidiana de n por \(2^k\) é maior do que o quociente da
divisão euclidiana de n por \(5^k\)?
04 jun 2012, 15:10
Agora não tenho tempo para complementar a resposta, mas fá-lo-ei depois!
Saudações Pitagóricas!
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