Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sendo n e k inteiros positivos, com n maior ou igual a \(5^k\), como podemos provar
que o quociente da divisão euclidiana de n por \(2^k\) é maior do que o quociente da
divisão euclidiana de n por \(5^k\)?

Considere \(d'\) o quociente da divisão de n por \(2^k\) e \(d''\) o quociente de n por \(5^k\).

Tem-se:

\(n = 2^k . d'\)

e,

\(n = 5^k . d''\)

Igualando...

\(2^k . d' = 5^k . d''\)

\(\frac{d'}{d''} = \frac{5^k}{2^k}\)

Temos uma proporção, podemos fazer \(d' = 5^k\) e \(d'' = 2^k\)

Uma vez que, \(k \in \mathbb{Z}_+\) podemos concluir que \(5^k > 2^k\).

Logo,

\(d' > d''\)

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Daniel Ferreira
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Caro danjr5,

Creio que há um probleminha na resolução apresentada.
O enunciado não permite concluir que d' = 5^k e d" = 2^k.

Aliás, o enunciado nem sequer permite escrever:

n = d' . 2^k e n = d". 5^k

pois a divisão euclidiana pode apresentar resto diferente de zero.

O melhor é provar por indução:

1) Provar que para para \(n=n_0\) é verdade
2) Se for verdade para \(n \geq n_0\), então é verdade para \(n+1\)

NOTA: neste caso \(n_0\) é igual a \(5^k\) já que n é maior ou igual que este número

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1) Se \(n=n_0=5^k\), então
\(\frac{n}{5^k}=1\)
e
\(\frac{n}{2^k}=\frac{5^k}{2^k}=(\frac{5}{2})^k \geq 1 = \frac{n}{5^k}\)

2) Assumimos que é verdade para n, ou seja
\(\frac{n}{2^k}\geq \frac{n}{5^k}\) HIPOTESE

então

\(\frac{n+1}{2^k}= \frac{n}{2^k}+\frac{1}{2^k}\) (1)

o que, usando a HIPOTESE,

\(\frac{n}{2^k}+\frac{1}{2^k} \geq \frac{n}{5^k}+\frac{1}{2^k}\)

Para além disso, sendo k positivo, temos que

\(\frac{1}{2^k} \geq \frac{1}{5^k}\)

donde concluímos que

\(\frac{n}{5^k}+\frac{1}{2^k} \geq \frac{n}{5^k}+\frac{1}{5^k} = \frac{n+1}{5^k}\) (2)

Ou seja, resumindo,

\(\frac{n+1}{2^k} \geq \frac{n+1}{5^k}\) de (1) e (2)

Ou seja, acabámos de provar que se a proposição é válida para n é válida para n+1, para n maior ou igual que \(5^k\)

Verificámos então os dois pontos da prova por indução, e provámos assim o resultado

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Caro José Sousa,

Agradeço-lhe a atenção.

Parece-me que a resolução não corresponde ao problema proposto, que trata de divisão euclidiana (há quociente e resto, portanto).

Um abração do Paulo Argolo.

Note que no problema fala-se do quociente da divisão euclidiana.

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José Sousa
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O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Agora não tenho tempo para complementar a resposta, mas fá-lo-ei depois!

Saudações Pitagóricas!

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928