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| n/(2^k) é maior que n/(5^k) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=432 |
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| Autor: | Argolo [ 02 jun 2012, 23:31 ] |
| Título da Pergunta: | n/(2^k) é maior que n/(5^k) |
Sendo n e k inteiros positivos, com n maior ou igual a \(5^k\), como podemos provar que o quociente da divisão euclidiana de n por \(2^k\) é maior do que o quociente da divisão euclidiana de n por \(5^k\)? |
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| Autor: | danjr5 [ 03 jun 2012, 02:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: n/(2^k) é maior que n/(5^k) |
Considere \(d'\) o quociente da divisão de n por \(2^k\) e \(d''\) o quociente de n por \(5^k\). Tem-se: \(n = 2^k . d'\) e, \(n = 5^k . d''\) Igualando... \(2^k . d' = 5^k . d''\) \(\frac{d'}{d''} = \frac{5^k}{2^k}\) Temos uma proporção, podemos fazer \(d' = 5^k\) e \(d'' = 2^k\) Uma vez que, \(k \in \mathbb{Z}_+\) podemos concluir que \(5^k > 2^k\). Logo, \(d' > d''\) |
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| Autor: | Argolo [ 03 jun 2012, 11:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: n/(2^k) é maior que n/(5^k) |
Caro danjr5, Creio que há um probleminha na resolução apresentada. O enunciado não permite concluir que d' = 5^k e d" = 2^k. Aliás, o enunciado nem sequer permite escrever: n = d' . 2^k e n = d". 5^k pois a divisão euclidiana pode apresentar resto diferente de zero. |
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| Autor: | josesousa [ 03 jun 2012, 15:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: n/(2^k) é maior que n/(5^k) |
O melhor é provar por indução: 1) Provar que para para \(n=n_0\) é verdade 2) Se for verdade para \(n \geq n_0\), então é verdade para \(n+1\) NOTA: neste caso \(n_0\) é igual a \(5^k\) já que n é maior ou igual que este número ---- 1) Se \(n=n_0=5^k\), então \(\frac{n}{5^k}=1\) e \(\frac{n}{2^k}=\frac{5^k}{2^k}=(\frac{5}{2})^k \geq 1 = \frac{n}{5^k}\) 2) Assumimos que é verdade para n, ou seja \(\frac{n}{2^k}\geq \frac{n}{5^k}\) HIPOTESE então \(\frac{n+1}{2^k}= \frac{n}{2^k}+\frac{1}{2^k}\) (1) o que, usando a HIPOTESE, \(\frac{n}{2^k}+\frac{1}{2^k} \geq \frac{n}{5^k}+\frac{1}{2^k}\) Para além disso, sendo k positivo, temos que \(\frac{1}{2^k} \geq \frac{1}{5^k}\) donde concluímos que \(\frac{n}{5^k}+\frac{1}{2^k} \geq \frac{n}{5^k}+\frac{1}{5^k} = \frac{n+1}{5^k}\) (2) Ou seja, resumindo, \(\frac{n+1}{2^k} \geq \frac{n+1}{5^k}\) de (1) e (2) Ou seja, acabámos de provar que se a proposição é válida para n é válida para n+1, para n maior ou igual que \(5^k\) Verificámos então os dois pontos da prova por indução, e provámos assim o resultado |
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| Autor: | Argolo [ 04 jun 2012, 14:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: n/(2^k) é maior que n/(5^k) |
Caro José Sousa, Agradeço-lhe a atenção. Parece-me que a resolução não corresponde ao problema proposto, que trata de divisão euclidiana (há quociente e resto, portanto). Um abração do Paulo Argolo. |
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| Autor: | josesousa [ 04 jun 2012, 15:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: n/(2^k) é maior que n/(5^k) |
Note que no problema fala-se do quociente da divisão euclidiana. Argolo Escreveu: Sendo n e k inteiros positivos, com n maior ou igual a \(5^k\), como podemos provar
que o quociente da divisão euclidiana de n por \(2^k\) é maior do que o quociente da divisão euclidiana de n por \(5^k\)? |
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| Autor: | josesousa [ 04 jun 2012, 15:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: n/(2^k) é maior que n/(5^k) |
Agora não tenho tempo para complementar a resposta, mas fá-lo-ei depois! Saudações Pitagóricas! |
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