Fórum de Matemática
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\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}\)

\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}= \sqrt[3]{3+\sqrt{\frac{243}{27}+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{\frac{243}{27}+\frac{125}{27}}}= \sqrt[3]{3+\sqrt{\frac{368}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{\frac{368}{27}}}=...\)

não consigo avançar mais, nem acho que seja possível...

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João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

exacto... também cheguei à mesma conclusão

Olá Ana, eu também fiquei como tu

Mas agora pensando melhor, em último caso, pode tentar-se ver pelo caso notável da diferença da dois cubos, mas acho que complica

\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) logo

\(x-y=\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}\)

talvez dê, não sei...

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João Pimentel Ferreira
 
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Parece fácil essa ... segue o raciocínio ( pode ser que eu erre em alguma passagem) :

\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{- 3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} = x\)

\(\left ( \sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{- 3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} \right )^{3} = x^{3}\)

Segue que para todo a e b reais a igualdade abaixo se cumpre :

\(\left ( a-b \right )^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)\)

Então, temos que :

\(\left ( 3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right ) = a^{3}\)
\(\left ( -3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right ) = b^{3}\)

Usando o produto notável e simplificando, vem :

\(x^{3} = \left ( 3+ \sqrt{9 +\frac{125}{27} \right ) - \left ( -3+ \sqrt{9 +\frac{125}{27} \right ) - 3x \sqrt[3]{\left ( 3+\sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right )\left ( -3+ \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right )}\)

Note que : ( Produto notável da diferença entre quadrados)

\(\left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} - 3 \right ) \left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} + 3 \right ) = \left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} \right )^{2} - 3^{2}\)

Daí :
\(x^{3} = 6 - 3 x \sqrt[3]{9 + \frac{125}{27} - 9}\)

\(x^{3} = 6 - 3x\left ( \frac{5}{3} \right )\)

Cheguei até aqui ....

\(x^{3} + 5x - 6 = 0\)

Note que \(x^{3} + 5x - 6 = (x-1)(x^{2} + x + 6) = 0\)

que implica que a única raiz real é x = 1 pois as outras duas são complexas.

Epah, excelente meu caro

parabéns Phelipeth

muito obrigado pela partilha, seja sempre muito bem-vindo

um abraço

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João Pimentel Ferreira
 
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