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Número de sexta-feiras 13 no ano
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=4372		 Página 1 de 1
Autor:  Paulo Roberto Ldk [ 19 nov 2013, 17:43 ]
Título da Pergunta:  Número de sexta-feiras 13 no ano
Retirei esta questão de um problema em uma apostila de matemática discreta, disponível na internet. O assunto era sobre congruências. Alguém sabe resolver?

"Mostre que em cada ano civil o número de sexta-feira, dia 13 é no mínimo 1 e no máximo 3."
Autor:  npl [ 19 nov 2013, 18:38 ]
Título da Pergunta:  Re: Número de sexta-feiras 13 no ano
Sugiro que analise os restos da divisão inteira, do número de dias de cada mês divididos por 7.
Estes restos representam quantos dias, o dia 13 do mês, vai avançar nos dias da semana.
Autor:  Paulo Roberto Ldk [ 22 nov 2013, 23:05 ]
Título da Pergunta:  Re: Número de sexta-feiras 13 no ano
Ainda não consegui entender a prova.
Mas obrigado pela dica!
Autor:  npl [ 25 nov 2013, 00:00 ]
Título da Pergunta:  Re: Número de sexta-feiras 13 no ano
Estava a dizer para analisar "exaustivamente" os restos para cada mês, por exemplo Janeiro ou Dezembro têm dão resto 3 enquanto Abril ou Novembro têm resto 2.
Estes restos(da divisão por 7!) representam o número de dias da semana que o dia 13 vai avançar cada vez que se muda para o mês seguinte.
Autor:  Paulo Roberto Ldk [ 25 nov 2013, 17:14 ]
Título da Pergunta:  Re: Número de sexta-feiras 13 no ano
A resultado da prova, conforme as dicas de npl

Primeiro foi construído a tabela

NumDias M(i) S(i) DD =DiaSem
D D MOD 7 S(i-1)+M(i) MOD S(i)
Janeiro 31 3 0 0
Fevereiro 28 0 3 3
Março 31 3 3 3
Abril 30 2 6 6
Maio 31 3 8 1
Junho 30 2 11 4
Julho 31 3 13 6
Agosto 31 3 16 2
Setembro 30 2 19 5
Outubro 31 3 21 0
Novembro 30 2 24 3
Dezembro 31 3 26 5

A tabela foi utilizada para calcular o deslocamento de um determinado dia da semana em um mês i, em relação ao mês de janeiro. Por exemplo, no mês de julho, passaram-se 6 dias em relação ao dia base. Se o dia base de janeiro for terça-feira, por exemplo, então tem-se
terça=0; quarta=1; quinta=2; sexta=3; sábado=4; domingo=5; segunda=6.
A coluna DD então dará o resultado dos dias que iniciam o mês. A partir daquela coluna DD, obtém-se a tabela
Dia (DD) Total
0 2
1 1
2 1
3 3
4 1
5 2
6 2

Que mostra a quantidade de dias que um determinado dia da semana pode ocorrer em função do dia base escolhido.
Pela tabela observa-se que um determinado dia pode ocorrer no mínimo 1 e no máximo 3 dias. O que responde a pergunta.

Agradeço a npl pelas sugestões e dicas dadas.
Autor:  Paulo Roberto Ldk [ 25 nov 2013, 17:21 ]
Título da Pergunta:  Re: Número de sexta-feiras 13 no ano
Correção da edição de dados na resposta acima.

Os dados não ficaram na coluna correta. Há quatro colunas de dados na tabela
Primeira coluna --> mês do ano
Segunda coluna (D) --> número de dias daquele mês (D)
Terceira coluna (M(i)) --> operação aritmética: resto da divisão inteira da coluna D por 7 (D mod 7)
Quarta coluna (S(i)) --> Soma do elemento M(i) com S(i-1), para 1<=i<12; onde S(1) = 0;
Quinta coluna (DD)) --> Dia da semana que inicia o mês i, obtido a partir de S(i) mod 7.
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