exacto... também cheguei à mesma conclusão
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| Radiciação com raizes cúbicas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=4403 |
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| Autor: | guilmarangon [ 23 nov 2013, 13:34 ] |
| Título da Pergunta: | Radiciação com raizes cúbicas |
\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 nov 2013, 12:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Radiciação - URGENTE |
\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}= \sqrt[3]{3+\sqrt{\frac{243}{27}+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{\frac{243}{27}+\frac{125}{27}}}= \sqrt[3]{3+\sqrt{\frac{368}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{\frac{368}{27}}}=...\) não consigo avançar mais, nem acho que seja possível... |
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| Autor: | Ana Marta Barreto [ 26 nov 2013, 12:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Radiciação - URGENTE |
exacto... também cheguei à mesma conclusão
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 nov 2013, 13:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Radiciação - URGENTE |
Olá Ana, eu também fiquei como tu  Mas agora pensando melhor, em último caso, pode tentar-se ver pelo caso notável da diferença da dois cubos, mas acho que complica \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) logo \(x-y=\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}\) talvez dê, não sei... |
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| Autor: | Phelipeth [ 27 nov 2013, 00:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Radiciação com raizes cúbicas |
Parece fácil essa ... segue o raciocínio ( pode ser que eu erre em alguma passagem) : \(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{- 3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} = x\) \(\left ( \sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{- 3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} \right )^{3} = x^{3}\) Segue que para todo a e b reais a igualdade abaixo se cumpre : \(\left ( a-b \right )^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)\) Então, temos que : \(\left ( 3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right ) = a^{3}\) \(\left ( -3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right ) = b^{3}\) Usando o produto notável e simplificando, vem : \(x^{3} = \left ( 3+ \sqrt{9 +\frac{125}{27} \right ) - \left ( -3+ \sqrt{9 +\frac{125}{27} \right ) - 3x \sqrt[3]{\left ( 3+\sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right )\left ( -3+ \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right )}\) Note que : ( Produto notável da diferença entre quadrados) \(\left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} - 3 \right ) \left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} + 3 \right ) = \left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} \right )^{2} - 3^{2}\) Daí : \(x^{3} = 6 - 3 x \sqrt[3]{9 + \frac{125}{27} - 9}\) \(x^{3} = 6 - 3x\left ( \frac{5}{3} \right )\) Cheguei até aqui .... \(x^{3} + 5x - 6 = 0\) Note que \(x^{3} + 5x - 6 = (x-1)(x^{2} + x + 6) = 0\) que implica que a única raiz real é x = 1 pois as outras duas são complexas. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 27 nov 2013, 10:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Radiciação com raizes cúbicas |
Epah, excelente meu caro parabéns Phelipeth muito obrigado pela partilha, seja sempre muito bem-vindo um abraço |
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