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| Problema de divisibilidade https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=4700 |
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| Autor: | jplogin [ 02 jan 2014, 13:19 ] |
| Título da Pergunta: | Problema de divisibilidade |
Provar que (n-1)2|nk-1 se, e somente se, (n-1)|k Alguém pode ajudar, por favor? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 06 jan 2014, 18:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Problema de divisibilidade [resolvida] |
Como \(n^k-1=(n-1)(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots +n+1)\), temos que \((n-1)^2|(n^k-1)\) se e só se \(n-1\) divide \(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots +n+1\). Pode-se mostrar por indução que \(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots +n+1=(n-1)(n^{k-2}+2n^{k-3}+\cdots +(k-2)n+k-1)+k\) (exercício). Logo, \(n-1\) divide \(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots +n+1\) se e só se \(n-1\) divide \(k\). |
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| Autor: | jplogin [ 09 jan 2014, 17:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Problema de divisibilidade |
Muitíssimo obrigado :D Estava curioso sobre essa questão, não conseguia mesmo. Eu entendi a fatoração das potências decrescentes de n, mas eu teria uma boa dificuldade pra chegar nesse resultado. Questão de prática, imagino. |
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