Fórum de Matemática
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Provar que (n-1)²|n^k-1 se, e somente se, (n-1)|k

Alguém pode ajudar, por favor?

Como \(n^k-1=(n-1)(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots +n+1)\), temos que \((n-1)^2|(n^k-1)\) se e só se \(n-1\) divide \(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots +n+1\). Pode-se mostrar por indução que \(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots +n+1=(n-1)(n^{k-2}+2n^{k-3}+\cdots +(k-2)n+k-1)+k\) (exercício). Logo, \(n-1\) divide \(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots +n+1\) se e só se \(n-1\) divide \(k\).

Muitíssimo obrigado :D
Estava curioso sobre essa questão, não conseguia mesmo. Eu entendi a fatoração das potências decrescentes de n, mas eu teria uma boa dificuldade pra chegar nesse resultado. Questão de prática, imagino.