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| Produtos Notáveis e Fatoração https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=5285 |
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| Autor: | vestibulando123 [ 01 mar 2014, 15:35 ] |
| Título da Pergunta: | Produtos Notáveis e Fatoração [resolvida] |
Olá pessoal, Após um período de descanso, retomei meus estudos. Segue o exercício que não consegui solucionar. Enunciado: Prove que \(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\) é racional. Penso que ambos os radicandos são o desenvolvimento de uma soma de cubos e de uma diferença de cubos, respectivamente. No entanto, não consigo encontrar os valores para cancelar com a raiz e, em seguida, somar os números, provando que a expressão é racional. Grato. |
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| Autor: | vestibulando123 [ 01 mar 2014, 20:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
Com a finalidade de exemplificar, penso que o raciocínio para este exercício seja o mesmo que o do exercício a seguir. Enunciado: simplifique \(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\) Observa-se o produto notável denominado quadrado da soma. \(\sqrt{2^2+2.2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}\) \(\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}\) \(2+\sqrt{3}\) |
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| Autor: | danjr5 [ 01 mar 2014, 20:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
Olá vestibulando, boa tarde! Como sabes, uma questão sempre apresenta mais de uma resolução. A meu ver, fiz pela forma mais difícil/complicada! [risos] \(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = k\) \(\left ( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \right )^3 + \left ( \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right )^3 = k^3\) \((20 + \cancel{14\sqrt{2}}) + 3 \times \left ( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \right )^2 \times \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} + 3 \times \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \times \left ( \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right )^2 + (20 - \cancel{14\sqrt{2}}) = k^3\) \(40 + 3\sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})^2(20 - 14\sqrt{2})} + 3\sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})^2} = k^3\) \(40 + 3\sqrt[3]{8(20 + 14\sqrt{2})} + 3\sqrt[3]{8(20 - 14\sqrt{2})} = k^3\) \(3 \times 2 \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + 3 \times 2 \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = k^3 - 40\) \(6 \left ( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right ) = k^3 - 40\) \(6 \underbrace{\left ( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right )}_{k} = k^3 - 40\) \({k}^3 - {6}k - {40} = 0\) \((k - 4)(k^2 + 4k + 10) = 0\) \(\fbox{k = 4}\) |
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| Autor: | vestibulando123 [ 01 mar 2014, 21:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
Danjr5, Primeiramente, muito obrigado pela sua brilhante resolução! No entanto, resta-me uma dúvida. Como fatorou as três últimas linhas? Provavelmente, através do dispositivo de Briot-Ruffini, mas não me recordo como ele funciona. Poderia me ajudar novamente? Porque o fator k-4? Grato. |
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| Autor: | danjr5 [ 01 mar 2014, 21:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
Vestibulando, pelos sinais da equação pude deduzir que se houvesse uma raiz ela seria positiva, então, fui atribuindo valores a \(k\). Depois efetuei uma divisão... |
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| Autor: | vestibulando123 [ 01 mar 2014, 21:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
Desculpe-me pela ignorância, mas a dúvida persiste. Não consigo enxergar a fatoração. |
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| Autor: | vestibulando123 [ 01 mar 2014, 21:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
Daniel, Ao ler e reler sua dica, testei os valores 1, 2, 3 e 4 para k. Encontrei no valor 4 uma raiz para a equação. Logo, \(k-4=0\) \(k=4\) Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, tem-se no anexo: Anexo: Briot-Ruffini.jpg [ 21.98 KiB | Visualizado 3322 vezes ] Agora a dúvida é: se temos k³, não teríamos três soluções? No caso 1 real e 2 imaginárias? |
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| Autor: | danjr5 [ 01 mar 2014, 21:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
As outra - raízes - são complexas! E, o fato de uma das raízes ser racional, já satisfaz o enunciado! Poderíamos, também, ter encontrado as raízes de uma forma mais elegante: Teorema das Raízes |
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| Autor: | vestibulando123 [ 01 mar 2014, 22:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
Dan, De acordo com o teorema, p seria divisor do termo independente e q seria divisor do coeficiente dominante? No caso, \(p=\left \{ \pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8;\pm 10;\pm 20;\pm 40 \right \}\) \(q=\left \{ \pm 1 \right \}\) Logo, \(\frac{p}{q}=\left \{ \pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8;\pm 10;\pm 20;\pm 40 \right \}\) A interpretação seria: todos os valores são possíveis raízes reais para a equação. Em seguida, deveria testar uma por uma até encontrar todas as raízes reais? |
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| Autor: | danjr5 [ 01 mar 2014, 22:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis e Fatoração |
Perfeito! |
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