Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá pessoal,

Segue o enunciado e as alternativas:

Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo. Atualmente, para que as informações migrem de um computador para outro, um sistema de endereçamento denominado IPv4 (Internet Protocol Version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituído por quatro campos, separados por pontos. Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no intervalo [0, 28 - 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada endereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0, 216 - 1].

Com base nessas informações, é correto afirmar que

A) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4.

B) existem exatamente 4.(28 - 1) endereços diferentes no sistema IPv4.

C) existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema IPv4.

D) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do

sistema IPv4.

E) existem exatamente (28 - 1)4 endereços diferentes no sistema IPv4.


Não consegui progredir.

*Nota: 28 é uma potência de base 2 e expoente 8. 216 é uma potência de base 2 e expoente 16. 232 é uma potência de base 2 e expoente 32.

Princípio Multiplicativo

Definição:
Se um evento A ocorre de x maneiras distintas e se FIXADA uma dessas maneiras, o evento B ocorrer de y maneiras distintas.
O evento A e B ocorre de x*y maneiras distintas.

Vamos nomear cada grupo do ipv4 como G1,G2,G3 e G4.

Se G1 ocorre de 256 maneiras distintas, fixando uma dessas maneiras de G1, G2 ocorrera de 256 maneiras distintas, fixando uma dessas maneiras de G2, G3 ocorrerá de 256 maneiras distintas, e fixando uma dessas maneiras de G3, G4 ocorrerá de 256 maneiras distintas. Em outras palavras:

G1 ocorre 256 vezes (0, 1, 2,...,255).
Fixando cada uma, G2 vai ocorrer de 256 vezes. Então para G1[0] temos G2(0,1,2,...255), para G1[1] temos G2(0,1,2,...255), ..., para G1[255] temos G2(0,1,2,...255).
Fixando cada ocorrência de G2, G3 ocorrerá 256 vezes. Então para G1[0]G2[0] temos G3(0,1,2,...,255), para G1[0]G2[1] temos G3(0,1,2,...,255),..., para G1[255]G2[255] temos G3(0,1,2,...,255)
Fixando cada ocorrência de G3, G4 ocorrerá 256 vezes. Então para G1[0]G2[0]G3[0] temos G4(0,1,2,...,255),..., para G1[255]G2[255]G3[255] temos G4(0,1,2,...,255).

Obviamente todo esse texto é apenas para entender o princípio multiplicativo, na prática apenas usamos a fórmula. Por exemplo:

G1 = 256
G2 = G1*256
G3 = G2*256
G4 = G3*256

Como cada grupo equivale a 2^8 (2 elevado a 8), basta multiplicar todos eles:

2^8 * 2^8 * 2^8 * 2^8.

Na multiplicação de potências com bases iguais, basta conservar a base e somar os expoentes:

2^8 * 2^8 * 2^8 * 2^8 = 2^32

No ipv6 temos 2^16 para cada grupo e temos 4 grupos a mais.

É só mudar os expoentes para 16 e aumentar o número de grupos para 8:

2^16 * 2^16 * 2^16 * 2^16 * 2^16 * 2^16 * 2^16 * 2^16 = 2^128

Outro cuidado que temos que ter é que [a,b] denota um intervalo que inclui tanto a quanto b, ou seja, o intervalo [0,255] incluí tanto 0 quanto 255, isso explica porque o enunciado subtrai 1 de 2^8. Se o enunciado quisesse manter 2^8, teria que usar um intervalo que não inclui 2^8, exemplo: [0,2^8[. Veja o colchete direito indicando que não vai incluir o 2^8.

Acho que agora dá pra resolver, qualquer dúvida só dizer.