Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

O valor de \(\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\div \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\) é?
Resp.: \(2+\sqrt{3}\)


Não importa o que eu faça, eu sempre acabo tirando a raiz e nunca chego no resultado
Alguém sabe o que eu tenho que fazer? Não é necessário resolver toda a questão, só o início já ajuda um monte...

Boa noite,

Sugestão:

Faça a inversão da segunda fração tornando a divisão numa multiplicação.
Depois multiplique em cima e em baixo por \((3-\sqrt{3})\) que o resultado vem.

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Fraol
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Olá fraol!

Obrigada por responder

Meu resultado chegou perto, devo ter errado em algo pequeno.
Segue:

\(\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\div \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\ast \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{6+3\sqrt{3}-\sqrt{3}-3}{6+3\sqrt{3}-\sqrt{3}-3}= \frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\)

Continua:

\(\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\ast \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{9-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3}{9-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3}= \frac{6+\sqrt{3}}{6+\sqrt{3}}\)

Daí pensei em pelo menos três jeitos de mudar isso, mas nenhuma foi efetiva pra mudar o 6 pelo 2 do gabarito.
Também achei estranho a conta ter terminado numa fração... Acho que isso faz parte do meu erro...

O que eu fiz de errado?

Bom dia,




Vamos seguir a partir daqui, primeiro multiplicamos por um "1" ajeitado:

\(= \frac{(3-\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})} \cdot \frac{(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})} \cdot \frac{(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})}\)

Veja, que assim, olhando à esquerda da expressão, você tem um quadrado da diferença, \((3-\sqrt{3}) \cdot (3-\sqrt{3})\), no numerador e uma diferença do quadrado no denominador, \((3-\sqrt{3}) \cdot (3+\sqrt{3})\). Desenvolvendo-os:

\(= \frac{(9-6\sqrt{3} + 3) \cdot (2+\sqrt{3})}{(9-3) \cdot (2-\sqrt{3})}\)

Agora ao fazer as contas você ficará com a resposta \((2+\sqrt{3})\).

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Fraol
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Nossa, entendi tudo ao contrário...

Fiz assim, então:
\(\frac{12-6\sqrt{3}}{6}\ast \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{6(2-\sqrt{3})}{6}\ast \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\)

Tá certo? Ali no final eu cancelei praticamente tudo, fiz isso por instinto, não sei se fiz certo...

Sim. Tá certo!

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Fraol
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Ai, que bom!
Muito obrigada