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Preciso descobrir se a desigualdade abaixo é verdadeira sob as restrições

\(C>0 ;\; u>a>i>0\)


\(C \left( u-a\right) \ln^2 \left( 1+u\right) - \ln{\left( 1+u\right) } + \ln{\left( 1+i\right) }>0\)

Grato a todos.

Boa noite . Já pensou em fixar as constantes (estabelecendo as condições ) e fazer estudo sobre o polinômio de grau 2 : \(p(x) = C(u-a)x^2 - x + ln(i+1)\) ??

Aliás , não precisa utilizar o polinômio de grau 2 .

A desigualdade não é sempre verdadeira . Fixe \(u > a > i > 0\) e tome \(0< C < x_0\) .

(Onde : \(x_0 := \frac{ln(u+1) - ln(i+1)}{(u-a)ln^2(u+1)} > 0\))

Prezado Santhiago, infelizmente eu não posso supor \(C<X_0\).
\(C\) tem que ser apenas maior que zero. Obrigado

As restrições apresentadas não são suficientes para garantir que a desigualdade seja verificada. Considere por exemplo
\(C = 1
i = x
a = x+1
u = x + 2\)

Se estudar a função de x assim gerada, verá que não toma sempre valores positivos. Tal como no exemplo fornecido pelo Rilke, podemos ver existem valores positivos de C para os quais a desigualdade não é verificada, pelo que é falso que seja verdadeira para qualquer C>0.

Prezado Sobolev.

\(C>0 ;\; u>a>i>0\)

\(C \left( u-a\right) \ln^2 \left( 1+u\right) - \ln{\left( 1+u\right) } + \ln{\left( 1+i\right) }>0\)

Substituindo conforme sua indicação teremos:

\(C \left( (x+2)-(x+1)\right) \ln^2 \left( 1+(x+2)\right) - \ln{\left( 1+(x+2)\right) } + \ln{\left( 1+(x)\right) }>0 \\
C \left( x+2-x-1\right) \ln^2 \left( 1+x+2\right) - \ln{\left( 1+x+2\right) } + \ln{\left( 1+x\right) }>0\\
C \left( \cancel{x}+2\cancel{-x}-1\right) \ln^2 \left( x+3\right) - \ln{\left( x+3\right) } + \ln{\left( 1+x \right) }>0\\
C \ln^2 \left( x+3\right) - \ln{\left( x+3\right) } + \ln{\left( 1+x \right) }>0\\
C \ln^2 \left( x+3\right) + \ln{\left( 1+x \right) }> \ln{\left( x+3\right) } \\
C \ln^2 \left( x+3\right) > \ln{\left( x+3\right) } - \ln{\left( 1+x \right) } \\
C \ln^2 \left( x+3\right) > \ln{\left( \frac{x+3}{x+1}\right) } \\\)

É verdade, com C suficientemente pequeno mas positivo a desigualdade se torna falsa.
Muito obrigado.