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| Verificar a validade da desigualdade https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=5924 |
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| Autor: | Rilke [ 01 mai 2014, 22:04 ] |
| Título da Pergunta: | Verificar a validade da desigualdade |
Preciso descobrir se a desigualdade abaixo é verdadeira sob as restrições \(C>0 ;\; u>a>i>0\) \(C \left( u-a\right) \ln^2 \left( 1+u\right) - \ln{\left( 1+u\right) } + \ln{\left( 1+i\right) }>0\) Grato a todos. |
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| Autor: | santhiago [ 02 mai 2014, 01:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Verificar a validade da desigualdade |
Boa noite . Já pensou em fixar as constantes (estabelecendo as condições ) e fazer estudo sobre o polinômio de grau 2 : \(p(x) = C(u-a)x^2 - x + ln(i+1)\) ?? |
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| Autor: | santhiago [ 02 mai 2014, 02:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Verificar a validade da desigualdade |
Aliás , não precisa utilizar o polinômio de grau 2 . A desigualdade não é sempre verdadeira . Fixe \(u > a > i > 0\) e tome \(0< C < x_0\) . (Onde : \(x_0 := \frac{ln(u+1) - ln(i+1)}{(u-a)ln^2(u+1)} > 0\)) |
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| Autor: | Rilke [ 02 mai 2014, 03:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Verificar a validade da desigualdade |
Prezado Santhiago, infelizmente eu não posso supor \(C<X_0\). \(C\) tem que ser apenas maior que zero. Obrigado |
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| Autor: | Sobolev [ 02 mai 2014, 11:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Verificar a validade da desigualdade |
As restrições apresentadas não são suficientes para garantir que a desigualdade seja verificada. Considere por exemplo \(C = 1 i = x a = x+1 u = x + 2\) Se estudar a função de x assim gerada, verá que não toma sempre valores positivos. Tal como no exemplo fornecido pelo Rilke, podemos ver existem valores positivos de C para os quais a desigualdade não é verificada, pelo que é falso que seja verdadeira para qualquer C>0. |
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| Autor: | Rilke [ 02 mai 2014, 13:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Verificar a validade da desigualdade [resolvida] |
Prezado Sobolev. \(C>0 ;\; u>a>i>0\) \(C \left( u-a\right) \ln^2 \left( 1+u\right) - \ln{\left( 1+u\right) } + \ln{\left( 1+i\right) }>0\) Substituindo conforme sua indicação teremos: \(C \left( (x+2)-(x+1)\right) \ln^2 \left( 1+(x+2)\right) - \ln{\left( 1+(x+2)\right) } + \ln{\left( 1+(x)\right) }>0 \\ C \left( x+2-x-1\right) \ln^2 \left( 1+x+2\right) - \ln{\left( 1+x+2\right) } + \ln{\left( 1+x\right) }>0\\ C \left( \cancel{x}+2\cancel{-x}-1\right) \ln^2 \left( x+3\right) - \ln{\left( x+3\right) } + \ln{\left( 1+x \right) }>0\\ C \ln^2 \left( x+3\right) - \ln{\left( x+3\right) } + \ln{\left( 1+x \right) }>0\\ C \ln^2 \left( x+3\right) + \ln{\left( 1+x \right) }> \ln{\left( x+3\right) } \\ C \ln^2 \left( x+3\right) > \ln{\left( x+3\right) } - \ln{\left( 1+x \right) } \\ C \ln^2 \left( x+3\right) > \ln{\left( \frac{x+3}{x+1}\right) } \\\) É verdade, com C suficientemente pequeno mas positivo a desigualdade se torna falsa. Muito obrigado. |
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