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Seja c = {1,2,3,...,p}. Calcule a soma dos produtos que s podem obter usando como fatores dois elementos distintos quaisquer de c

Se tomar \((1+2+3+\cdots +p)^2\) obtem a soma de todos os produtos de pares ordenados (não necessariamente distintos) em C={1,2,...,p}. Ou seja, \((1+2+3+\cdots +p)^2=\sum_{(x,y)\in C^2}xy\). Subtraindo os pares iguais, \(\sum_{(x,x)\in C^2}x^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +p^2\), obtemos que \((1+2+3+\cdots +p)^2-(1^2+2^2+3^2+\cdots +p^2)\) dá a soma de todos os produtos de pares ordenados distintos em C={1,2,...,p}. Ou seja, o dobro do pretendido.
Logo a soma prentendida,

\(S=\sum_{\{x,y\}\subset C | x\not=y}xy\)

é dada por \(S=\frac{(1+2+3+\cdots +p)^2-(1^2+2^2+3^2+\cdots +p^2)}{2}\)

Tendo em conta que \(1+2+3+\cdots +p=\frac{p(p+1)}{2}\) e que \(1^2+2^2+3^2+\cdots +p^2=\frac{p(p+1)(2p+1)}{6}}{2}\) temos que

\(S=\frac{\left(\frac{p(p+1)}{2}\right)^2-\frac{p(p+1)(2p+1)}{6}}{2}=\frac{3p^2(p+1)^2-2p(p+1)(2p+1)}{24}=\frac{p(p+1)[3p(p+1)-2(2p+1)]}{24}=\frac{p(p+1)(p-1)(3p+2)}{24}\)