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resolução da equação exponencial: 25*9^x + 16*15^x = 9.25^x

o conjunto solução é 2, mas não entendo por que, alguem poderia me ajudar?

Olá Vinicius550,
boa tarde!

\(25 \cdot 9^x + 16 \cdot 15^x = 9 \cdot 25^x\)

\(25 \cdot (3^2)^x + 16 \cdot (3 \cdot 5)^x = 9 \cdot (5^2)^x\)

\(3^x \cdot \left ( 25 \cdot 3^x + 16 \cdot 5^x \right ) = 3^2 \cdot 5^x \cdot 5^x\)

\(\underbrace{3^x}_{a} \cdot \underbrace{\left ( 25 \cdot 3^x + 16 \cdot 5^x \right )}_{b} = \underbrace{3^2}_{a} \cdot \underbrace{5^x \cdot 5^x}_{b}\)


Condição I:

\(3^x = 3^2 \\\\ \fbox{\fbox{x = 2}}\)


Condição II:

\(25 \cdot 3^x + 16 \cdot 5^x = 5^x \cdot 5^x\)

\(25 \cdot 9 + 16 \cdot \underbrace{5^x}_{k} = \underbrace{5^x}_{k} \cdot \underbrace{5^x}_{k}\)

\(225 + 16k = k^2\)

\(k^2 - 16k - {225} = {0}\)

\((k - 25)(k + 9) = 0\)

\(\fbox{S = \left \{ - 9, 25 \right \}}\)

Por conseguinte,

\(5^x = k \begin{cases} 5^x = - 9, x \notin \; \mathbb{R} \\ 5^x = 25 \Rightarrow 5^x = 5^2 \Rightarrow \fbox{\fbox{x = 2}}\end{cases}\)

Espero ter ajudado!

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Daniel Ferreira
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