Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Por favor, alguém poderia me explicar isso ?

Vejam essa figura :

http://divisbyzero.files.wordpress.com/ ... =260&h=260

A pergunta é: Quantos quadrados há nessa figura ?

Resposta : 72 quadrados

Como que eu faço para chegar nesse resultado 72 ?

Será que dá para descobrir uma fórmula para resolver qualquer quadrado ?

Obrigado.

Obrigado.

Eu também quero saber essa fórmula, alguém tem idéia de como descobrir ela ?

Consigo chegar a esse resultado seguindo o seguinte raciocínio.
Seja \(P_n\) o nº de quadrados na quadrícula de n segmentos por lado e sem diagonais.
É fácil ver que \(P_n=1^2+2^2+\cdots +n^2\) (há 1 quadrado de lado n, 4 quadrados de lado n-1, 9 quadrados de lado n-2, ..., n^2 quadrados de lado 1).

Seja agora \(L_n\) o nº de losangos (quadrados inclinados) na figura obtida juntando as diagonais.
Então, se n=2k for par, \(L_n=P_n+4\sum_{i=1}^{k-1}{2i+1 \choose 2}\), pois temos \(P_n\) quadrados (losangos) contidos no losango principal (maior) e qualquer outro quadrado (losango) é univocamente determinado por um par de vértices numa das diagonais que não passam pelo losango principal.

O nº de quadrados no total será \(Q_n=P_n+L_n\), seja \(Q_{2k}=2\left(\sum_{i=1}^{2k}i^2\right) +4\sum_{i=1}^{k-1}{2i+1 \choose 2}\) para n=2k par*.
Para n=4, dá \(Q_4=2(1+4+9+16)+4{3 \choose 2}=72\) enquanto para n=8 dá \(Q_8=2(1+4+9+16+25+36+49+64)+4\left({3 \choose 2}+{5 \choose 2}+{7 \choose 2}\right)=544\).

* Para n=2k+1 ímpar temos a fórmula \(L_{2k+1}=P_{2k}+4\sum_{i=1}^{k}{2i+1 \choose 2}\).

PS- Pode-se usar a fórmula \(P_n=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\) para nºs piramidais.