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Boa noite,
Primeiro convém ver a definição de múltiplo. se D é múltiplo de 6, então isso quer dizer que D é divisível por 6, ou seja o quociente da divisão de D por 6 é um número inteiro e o resto é zero. De acordo com o enunciado, sendo n e m os dois números naturais referidos, D escreve-se da seguinte forma:
\(D=\left ( n+m \right )^{3}-(n^{3}+m^{3})\)
Desenvolvendo a expressão obtém-se:
\(\left ( n+m \right )^{3}-(n^{3}+m^{3})= \left ( n+m \right )^{2}\left ( n+m \right )= n^{3}+n^{2}m+2n^{2}m+2nm^{2}+nm^{2}+m^{3}-n^{3}-m^{3}=3n^{2}m+3nm^{2}\)
esta expressão pode escrever-se sob a forma: \(6\left (\frac{n^{2}m+nm^{2}}{2} \right )\)
Quer isto dizer que, para que D seja divisível por 6, \(\left (\frac{n^{2}m+nm^{2}}{2} \right )\)
tem que ser um número inteiro, ou seja, \(\left (n^{2}m+nm^{2} \right )\) tem que ser um número divisível por dois.
Vamos agora analisar essa expressão. Sabe-se que n e m podem ser quaisquer dois números naturais. Há por isso 4 casos:
1) n é par, m é par
2) n é par, m é ímpar
3) n é ímpar, m é par
4) n é ímpar, m é ímpar
Para os três primeiros casos,é necessário saber que o quadrado de um número par é um número par e que um número par multiplicado por outro número dá um resultado que é par. Nesse caso, a expressão \(\left (n^{2}m+nm^{2}\right )\) é um número par, logo é divisível por 2, o que quer dizer que D é múltiplo de 6.
Para o último caso, é necessário saber que o quadrado de um número ímpar é um número ímpar, a multiplicação de números ímpares resulta em números ímpares e a soma de dois números ímpares dá um número par. Assim sendo, n2m e nm2 são dois números ímpares, que somados dão um número par, que é divisível por 2, o que quer dizer que D é múltiplo de 6.
Em qualquer dos casos, D é divisível por 6.
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