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Para um numero inteiro c qualquer, prove que um e apenas um dos
numeros c, c + 1, c + 2 e c + 3 é divisível por 4.

Este é daqueles exercícios em que a maior dificuldade é expor a demonstração de uma forma clara e rigorosa.
Pode ser feito assim:

Prova da existência:
Seja x o maior inteiro menor que c tal que x é múltiplo de 4. Então x+4 também é múltiplo de 4, é maior ou igual a c (senão x não seria o maior inteiro múltiplo de 4 menor que c) e também não excede c+3 (pois x é menor que c). Logo x+4 é um dos números apresentados c, c+1, c+2 e c+3.

Prova da unicidade:
Se de entre c, c+1, c+2 e c+3 existissem dois múltiplos de 4, designemo-los por x e y com x>y, então a sua diferença x-y também seria um múltiplo de 4. Mas por outro lado essa diferença só poderia tomar os valores 1, 2 e 3 o que contradiz o fato de ser múltiplo de 4.