Só uma correção: \(x\) é o número de elementos do conjunto \(A \cap B \cap C\), ou seja, o número de pessoas que possuem os vírus A, B e C ao mesmo tempo, e não o número de elementos de \(A \cup B \cup C\). Sendo assim, devemos ter
\(\text{(1) }\text{n}\left(A \cap B \cap C \right)=x\\ \\\)
É melhor tratarmos \(x\) como apenas uma variável que será carregada nos desenvolvimentos para encontrar todas as relações a seguir. E pelas especificações do enunciado do problema, podemos escrever as seguintes relações:
\(\text{(2) }\text{n}\left(A\right)=210\\ \\ \text{(3) }\text{n}\left(B\right)=230\\ \\ \text{(4) }\text{n}\left(A \cap B\right)=80\\ \\ \text{(5) }\text{n}\left(A \cap C\right)=90\\ \\ \text{(6) }\text{n}\left(B \cap C\right)=70\\ \\ \text{(7) }\text{n}\left(\overline{A \cup B \cup C}\right)=5 \Rightarrow \text{n}\left(A \cup B \cup C\right)=500-5=495\\ \\ \text{(8) }\text{n}\left(C\right)=2 \cdot n\left(B-\left(A \cup C \right ) \right )\)
A pergunta é, a partir da equaçao \(\text{(1)}\), como encontrar as relações que faltam? Elas são:
\(\text{(9) }\text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=?\\ \\ \text{(10) }\text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=?\\ \\ \text{(11) }\text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=?\\ \\ \text{(12) }\text{n}\left(\left( A \cap B\right )-C \right)=?\\ \\ \text{(13) }\text{n}\left(\left( A \cap C\right )-B \right)=?\\ \\
\text{(14) }\text{n}\left(\left( B \cap C\right )-A \right)=?\\ \\\)
Vamos por partes. Todas as relações a seguir podem ser obtidas observando o diagrama de Venn:
\(\text{(12) }\) encontrando o número de pessoas que possuem os vírus A e B, mas não possuem o vírus C:
\(\text{n}\left(\left( A \cap B\right )-C \right)+\text{n}\left(A \cap B \cap C \right)=\text{n}\left(A \cap B\right)\\ \\ \text{n}\left(\left( A \cap B\right )-C \right)+x=80\\ \\ \text{n}\left(\left( A \cap B\right )-C \right)=80-x\)
\(\text{(13) }\) encontrando o número de pessoas que possuem os vírus A e C, mas não possuem o vírus B:
\(\text{n}\left(\left( A \cap C\right )-B \right)+\text{n}\left(A \cap B \cap C \right)=\text{n}\left(A \cap C\right)\\ \\ \text{n}\left(\left( A \cap C\right )-B \right)+x=90\\ \\ \text{n}\left(\left( A \cap C\right )-B \right)=90-x\)
\(\text{(14) }\) encontrando o número de pessoas que possuem os vírus B e C, mas não possuem o vírus A:
\(\text{n}\left(\left( B \cap C\right )-A \right)+\text{n}\left(A \cap B \cap C \right)=\text{n}\left(B \cap C\right)\\ \\ \text{n}\left(\left( B \cap C\right )-A \right)+x=70\\ \\ \text{n}\left(\left( B \cap C\right )-A \right)=70-x\)
As relações \((12)\), \((13)\) e \((14)\) já estavam indicadas no diagrama que você postou primeiramente.
A sua dúvida é sobre as relações \((9)\) e \((10)\) terem a parcela \(x\) somada e não subtraída. Observando o diagrama de Venn com bastante atenção, e utilizando as informações obtidas do enunciado e as já calculadas acima, obtemos as seguintes relações:
\(\text{(9) }\) encontrando o número de pessoas que possuem apenas o vírus A, mas não possuem os vírus B nem C:
\(\overbrace{\text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)}^{\text{ (A, mas nao B nem C) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(A \cap B \right )-C \right)}^{\text{ (A e B, mas nao C) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(A \cap C \right )-B \right)}^{\text{ (A e C, mas nao B) }}+\overbrace{\text{n}\left(A \cap B \cap C \right )}^{\text{ (A, B e C) }}=\text{n}\left(A \right )\)
\(\text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)+\left(80-x \right )+\left(90-x \right)+x=210\\ \\ \text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=210-\left(80-x\right )-\left(90-x \right )-x\\ \\ \text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=210-80+x-90+x-x\\ \\ \text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=210-80-90+x+\not{x}-\not{x}\\ \\ \text{n}\left(A-\left(B \cup C \right ) \right)=40+x\)
\(\text{(10) }\) encontrando o número de pessoas que possuem apenas o vírus B, mas não possuem os vírus A nem C:
\(\overbrace{\text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)}^{\text{ (B, mas nao A nem C) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(A \cap B \right )-C \right)}^{\text{ (A e B, mas nao C) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(B \cap C \right )-A \right)}^{\text{ (B e C, mas nao A) }}+\overbrace{\text{n}\left(A \cap B \cap C \right )}^{\text{ (A, B e C) }}=\text{n}\left(B \right )\)
\(\text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)+\left(80-x \right)+\left(70-x \right )+x=230\\ \\ \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=230-\left(80-x \right)-\left(70-x \right )-x\\ \\ \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=230-80+x-70+x-x\\ \\ \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=230-80-70+x+\not{x}-\not{x}\\ \\ \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right)=80+x\)
\(\text{(11) }\) encontrando o número de pessoas que possuem apenas o vírus C, mas não possuem os vírus A nem B:
\(\overbrace{\text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)}^{\text{ (C, mas nao A nem B) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(A \cap C \right )-B \right)}^{\text{ (A e C, mas nao B) }}+\overbrace{\text{n}\left(\left(B \cap C \right )-A \right)}^{\text{ (B e C, mas nao A) }}+\overbrace{\text{n}\left(A \cap B \cap C \right )}^{\text{ (A, B e C) }}=\text{n}\left(C \right )\)
\(\text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)+\left(90-x \right)+\left(70-x \right )+x=y\\ \\ \text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=y-\left(90-x \right)-\left(70-x \right )-x\)
Mas, pela equação \((8)\), temos que
\(y=\text{n}\left(C \right )=2 \cdot \text{n}\left(B-\left(A \cup C \right ) \right )\\ \\ y=2\cdot \left(80+x \right )\\ \\ y=160+2x\)
Então
\(\text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=\left(160+2x \right )-\left(90-x \right)-\left(70-x \right )-x\\ \\ \text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=160+2x-90+x-70+x-x\\ \\ \text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=160-90-70+2x+x+\not{x}-\not{x}\\ \\ \text{n}\left(C-\left(A \cup B \right ) \right)=3x\)
Para encontrar o valor de \(x\), basta somar os elementos de todas as regiões do diagrama e igualar ao número total de pessoas. Assim, com já havia feito antes, encontramos
\(x=35 \text{ pessoas}\).
Agora, com o valor de \(x\) conhecido, pode-se substutuir nas outras relações e encontrar o número de elementos de cada subconjunto.
|