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Encontre os pontos nos quais a função g, abaixo definida, é contínua.
\(g(x)=\left{\begin{align} &x^{2}-2x &, x< -2 \\ &(2x^{2})^{1/_3} &, -2\leq x\leq 2 \\ &x^{2}-3x &, x>2 \end{align}\)


Não sei exatamente o que ele quer que eu faça, todas as sub-funções são contínuas em seus intervalos. Acho que ele quer que eu demonstre, mas eu não sei exatamente como fazer. Obrigado.

Boa noite,

de facto todas as sub-funções são contínuas no seu intervalo, contudo existem dois pontos de mudança, x= -2 e x= 2, nos quais é necessário verificar se a função é contínua. Para tal recorremos à definição que nos diz que uma função é contínua se e só se \(\lim_{x\rightarrow\, a^{-}}g\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow\, a^{+}}g\left ( x \right )=g\left ( a \right )\)

Vamos então verificar se a função é contínua em x= -2 e x= 2 respetivamente.

Para x= -2 :
\(\lim_{x\rightarrow -2^{-}}g\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow -2^{-}}\, x^{2}-2x= \left ( -2 \right )^{2}-2\times \left ( -2 \right )=8\)

\(\lim_{x\rightarrow -2^{+}}g\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\, \left ( 2x^{2} \right )^{\frac{1}{3}}=\left [\, 2\times\left ( -2 \right )^{2}\, \right ]^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\)

\(g\left ( -2 \right )=\left [ \, 2\times \left ( -2 \right )^{2}\, \right ]^{\frac{1}{3}}=2\)

Repare que os limites laterais são diferentes, no entanto, \(\lim_{x\rightarrow -2^{+}}g\left ( x \right )=g\left ( -2 \right )=2\) e portanto nós podemos afirmar que a função é contínua à direita de -2.

Agora aplique o mesmo raciocínio para x= 2 .

Eu acho sinceramente que o problema aqui se prende com o enunciado da questão, porque a meu ver não é explícito.

Boa noite, realmente deve ser isso mesmo que a questão pede, eu n tinha certeza. Obrigado de novo, deu certo aqui.