Equação Logaritmica base com fração e raiz

[Baltuilhe]

Sabe se que a e b são números estritamente positivos com \(\log_{\frac{1}{16}}{a}=\frac{1}{3}\) (log de a na base 1/16=1/3) e \(\log_{\frac{1}{16}}{b}=\frac{2}{5}\) (log de b na base 1/16=2/5).

Entao \(\log_{2}\left( a^{3}\cdot\sqrt[4]{b^{5}}\right)\)

Obs. na raiz "b" está elevado a 5.

Alguém pode me ajudar?

Editado pela última vez por Baltuilhe em 02 dez 2015, 19:29, num total de 1 vez.
Razão: Arrumando o LaTeX

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Dados:
\(\log_{\frac{1}{16}}{a}=\frac{1}{3}\)
e
\(\log_{\frac{1}{16}}{b}=\frac{2}{5}\)

Então:
\(\frac{\log_2{a}}{\log_2{\frac{1}{16}}}=\frac{1}{3}
\log_2{a}=\left(\log_2{2^{-4}}\right)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{-4}{3}\)

e

\(\frac{\log_2{b}}{\log_2{\frac{1}{16}}}=\frac{2}{5}
\log_2{b}=\left(\log_2{2^{-4}}\right)\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{-8}{5}\)


Calculando:
\(\log_{2}\left( a^{3}\cdot\sqrt[4]{b^{5}}\right)=3\log_2{a}+\frac{5}{4}\log_2{b}=3\left(\frac{-4}{3}\right)+\frac{5}{4}\left(\frac{-8}{5}\right)
-4-2=-6\)

Espero ter ajudado!

[professorhelio]

Sabe se que a e b são números estritamente positivos com \(\log_{\frac{1}{16}}{a}=\frac{1}{3}\) (log de a na base 1/16=1/3) e \(\log_{\frac{1}{16}}{b}=\frac{2}{5}\) (log de b na base 1/16=2/5).

Entao \(\log_{2}\left( a^{3}\cdot\sqrt[4]{b^{5}}\right)\)

Obs. na raiz "b" está elevado a 5.

Alguém pode me ajudar?

É só substituir. no lugar de a você coloca (1/16)^(1/3) e no lugar de b você coloca (1/16)^(2/5)
Assim, temos: log (na base 2) ((1/16).(1/16)^(1/2)) = (3/2).log (na base 2)(1/16) = (3/2).(-4) = -6