Dúvida numa equação com ln

[PauloP]

Boa tarde. Estou com algumas dúvidas nesta equação:

http://prntscr.com/a12358

Se alguém me puder ajudar agradecia
Cumprimentos.

Anexos

K155chQ.png (1.3 KiB) Visualizado 4508 vezes

[skaa]

\(y=\ln(2x+1)\)
\(y^2+3y+2\geq 0\)
...

[PauloP]

\(y=\ln(2x+1)\)
\(y^2+3y+2\geq 0\)
...

Bem.. era bastante simples afinal de contas, muito obrigado.
No fim de obter ambos os zeros da fórmula resolvente, como se apresenta o resultado final?
Faz-se um quadro de sinais por exemplo, e diz-se o intervalo certo?

[danjr5]

Olá!!

Consideremos \(\ln (2x + 1) = k\), então da desigualdade dada ficamos com \(k^2 + 3k \geq - 2\). Resolvendo-a,

\(\\ k^2 + 3k + 2 \geq 0 \\ (k + 1)(k + 2) \geq 0\)

Como solução teremos \(k \leq - 2\) ou \(k \geq - 1\). Isto é, \(S = (- \infty, - 2] \, \cup \, [- 1, \infty)\).

Voltemos a variável x,

Para k = - 1:

\(\\ \ln (2x + 1) = - 1 \\\\ e^{- 1} = 2x + 1 \\\\ \frac{1}{e} - 1 = 2x \\\\ x = \frac{1 - e}{2e}\)

Para \(k = \infty\):

\(\\ \ln (2x + 1) = \infty \\\\ e^{\infty} = 2x + 1 \\\\ \infty - 1 = 2x \\\\ x = \infty\)

Portanto, um dos intervalos é \(\left [ \frac{1 - e}{2e}, \infty \right )\).

Apliquemos um raciocínio análogo para determinar o outro intervalo. Segue,

Para k = - 2:

\(\\ \ln (2x + 1) = - 2 \\\\ e^{- 2} = 2x + 1 \\\\ \frac{1}{e^2} - 1 = 2x \\\\ x = \frac{1 - e^2}{2e^2}\)

Para \(k = - \infty\):

\(\\ \ln (2x + 1) = - \infty \\\\ e^{- \infty} = 2x + 1 \\\\ \frac{1}{e^{\infty}} - 1 = 2x \\\\ 2x = 0 - 1 \\\\ x = - \frac{1}{2}\)

Portanto, o outro intervalo é \(\left ( - \frac{1}{2}, \frac{1 - e^2}{2e^2} \right ]\).

Por fim, chegamos a \(\left ( - \frac{1}{2}, \frac{1 - e^2}{2e^2} \right ] \; \cup \left [ \frac{1 - e}{2e}, \infty \right )\).

[PauloP]

Obrigado pelas rápidas respostas!

Agora fiquei a perceber, obrigado.

[skaa]

E:
\(2x+1>0\)
.