Valor da constante com logaritmos

[carabemdoido]

O número real k mostrado na figura a seguir é igual a:

\(k = (\dfrac{2}{3})^(log5).(\dfrac{3}{5})^(log2).(\dfrac{5}{2})^(log3) {\)

[carabemdoido]

Reformulando a pergunta por causa do tex...

é cada fração elevada ao logaritmo!

\((\dfrac{2}{3})^{(log5)}\)

[pedrodaniel10]

\(k=\left ( \frac{2}{3} \right )^{\log(5)}\cdot \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log(2)}\cdot \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log(3)}=\frac{2^{\log(5)}\cdot 3^{\log(2)}\cdot5^{\log(3)}}{2^{\log(3)}\cdot 3^{\log(5)}\cdot 5^{\log(2)}}=2^{\log(5)-\log(3)}\cdot 3^{\log(2)-\log(5)}\cdot 5^{\log(3)-\log(2)} = 2^{\log\left ( \frac{5}{3} \right )}\cdot 3^{\log\left ( \frac{2}{5} \right )}\cdot 5^{\log\left ( \frac{3}{2} \right )}\)

[Rui Carpentier]

A propriedade dos logaritmos mais útil neste exercício é \(x^{\log y}=y^{\log x}\) (pois \(x^{\log y}=\left( 10^{\log x}\right)^{\log y}=10^{\log x\cdot \log y}=\left( 10^{\log y}\right)^{\log x}=y^{\log x}\)).
Assim sendo:

\(k=\left ( \frac{2}{3} \right )^{\log(5)}\cdot \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log(2)}\cdot \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log(3)}=\frac{2^{\log(5)}\cdot 3^{\log(2)}\cdot5^{\log(3)}}{2^{\log(3)}\cdot 3^{\log(5)}\cdot 5^{\log(2)}}=\frac{5^{\log(2)}\cdot 2^{\log(3)}\cdot 3^{\log(5)}}{2^{\log(3)}\cdot 3^{\log(5)}\cdot 5^{\log(2)}}=1\)