Eurico Escreveu:A soma dos valores inteiros de x para os quais função \(f(x) = \log_{2x - 1} \left ( 1 - \frac{x}{4} \right )\) existe é igual a?
Olá Eurico, de acordo com a definição de logaritmos, \(\mathsf{0 < a \neq 1}\) e \(\mathsf{b > 0}\); onde \(\mathsf{y = \log_a b}\).
Isto posto, temos o seguinte sistema: \(\begin{cases} \mathsf{0 < 2x - 1 \neq 0 \quad \qquad (i)} \\ \mathsf{1 - \frac{x}{4} > 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (ii)} \end{cases}\).
Resolvendo \(\mathsf{(i)}\):
\(\mathsf{2x - 1 > 0}\)
\(\mathsf{2x > 1}\)
\(\mathsf{x > \frac{1}{2}}\)
Mas,
\(\\ \mathsf{2x - 1 \neq 1} \\\\ \mathsf{2x \neq 2} \\\\ \mathsf{x \neq 1}\)
Resolvendo \(\mathsf{(ii)}\):
\(\mathsf{1 - \frac{x}{4} > 0}\)
\(\mathsf{\frac{4 - x}{4} > 0}\)
\(\mathsf{4 - x > 0}\)
\(\mathsf{- x > - 4}\)
\(\mathsf{x < 4}\)
Por fim, fazemos o estudo do quadro de sinais. Segue,
(i) ___-_____(1/2)____+_____________+____
(ii)___+_____________+_______(4)____-_____
S ____-_____(1/2
)____+______(4)____-_____
Portanto, \(\mathsf{S = \left \{ x \in \mathbb{Z} \ | \ \frac{1}{2} < x < 4 \right \}}\). Ou, \(\mathsf{S = \left \{ 1, 2, 3 \right \}}\). Todavia, não devemos considerar \(\mathsf{x = 1}\), pois vimos que \(\mathsf{x \neq 1}\).
Daí, fica fácil notar que \(\mathsf{2}\) e \(\mathsf{3}\) são os inteiros que satisfazem a condição de existência da função logarítmica em questão.
Logo, \(\mathsf{5 \ (2 + 3)}\) é a resposta procurada!