Domínio de Função logaritmica com base fracionária

[petras]

Boa noite, estou com dificuldades nesta questão: Alguém poderia ajudar?
Seja a ∊ R, a > 1. Para que ]4,5[ ={\({x \epsilon R_{+}^{*}; log_(_1_/_a_)(log_a(x^{2}-15))>0}\)}
O valor de a é: R(10)

[Sobolev]

Como a > 1 teremos que 1/a <1. Então

\(\log_{1/a} y >0 \Leftrightarrow y < 1\)

No nosso caso, como \(y= \log_a (x^2-15)\), para que a expressão esteja sequer definida é necessário que \(x^2-15 >1 \Leftrightarrow x >4\). Além disso,

\(\log_a (x^2-25) < 1 \Leftrightarrow \log_a (x^2-15) < \log_ a a \Leftrightarrow x^2-15 < a\)

Consegue concluir?

[petras]

Olá Sobolevev, minha resolução chegou justamente onde você parou, pois veja:
\(log_{a}(x^{2}-15)>0 \rightarrow x^{2}-15>1 \rightarrow x^{2}>16\)
Portanto x < -4 ou x > 4

Resolvendo a inequação base menor que 1: invertemos o sinal: \(log_{a}(x^{2}-15)<a^{0} \rightarrow log_{a}(x^{2}-15)< 1 \rightarrow x^{2}-15 < a\) (I)

Pensei em jogar os limites dados no enunciado: ]4,5[ em (I)
\(4^{2}-15 < a \rightarrow a>1
[tex]5^{2}-15 < a \rightarrow a >10\)

Não entendi a resposta ser 10... Poderia esclarecer?

[Sobolev]

\(x^2-15< a \Leftrightarrow x^2 < a+15 \Leftrightarrow x < \sqrt{a+15}.\) (repare que já havíamos estabelecido que x>4).

Assim, para o conjunto ser ]4,5[ basta que \(\sqrt{a+15} = 5 \Rightarrow a+15 = 25 \Rightarrow a =10\\).

[petras]

Grato Sobolev pelo esclarecimento e pelo desenvolvimento. Ficou bem claro agora.