Problema dos tênis

[BlackSabbathRules]

Uma "corrente" possibilita que se adquira um par de tênis pela quarta parte de seu preço (75% de desconto). Para participar dela, você deve preencher um formulário de alguém que dela já esteja participando. Essa pessoa deverá arrumar quatro pessoas interessadas (você e mais três), recolhendo de cada uma a parte do preço do par de tênis. Juntadas as quatro quartas partes, a pessoa as envia à fábrica que está promovendo a "corrente" e, assim, receberá o seu par de tênis (observe que a fábrica recebe o valor integral deles). Você, por sua vez, tem de arrumar quatro novos participantes que pagarão conjuntamente o calçado que você obterá. Cada um desses novos compradores deve arrumar quatro novíssimos participantes que lhe pagarão os tênis e assim por diante. Suponhamos que a fábrica tenha distribuído o formulário a 200 pessoas que iniciarão a "corrente" e que cada participante leve 5 dias para vender seus quatro pares de tênis. Determine a função que descreve o número de vendedores em função do tempo e o tempo necessário para que o número de participantes chegue a 6 bilhões.

[Ana Marta Barreto]

Determine a função que descreve o número de vendedores em função do tempo

Assumindo que por "número de vendedores" se entende o número de pessoas na "base da pirâmide" a tentar vender a outras 4 pessoas:

seja t o número de períodos de tempo necessários para vender 4 pares de ténis a 4 outras pessoas (neste caso cada período são 5 dias);
seja N o número de vendedores;

t=0, N₀=200

t=1, N₁=200*4=200*(4^1)

t=2, N₂=4*N₁=200*4*4=200*(4^2)

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A expressão do número de vendedores N em função de tempo t: N(t) = 200*(4^t)


Tempo necessário para que o número de participantes chegue a 6 bilhões

Assumindo que por participantes se entende o total de pessoas envolvidas no esquema da pirâmide, o tempo necessário para que o número de participantes chegue a 6 bilhões poderá ser calculado usando a expressão para a soma dos termos duma progressão geométrica em que:

Sn=6 bilhões
q=4
n=t+1

e ter conta que 1t = 5 dias