operações com logaritmos

[nsm]

Boa tarde, não estou a consegui chegar ao 2b no desenvolvimento do 1ºmembro
Sejam a,b e c numeros reais tais que:\(a^{b}=c\), sendo b pertence IR+ e a pertencente IR+\{1}

Mostra que:
\(log_{\sqrt{a}}c=2b\)

[Sobolev]

Boa tarde,

Trata-se apenas de considerar a definição de logaritmo de base \(\sqrt{a}\),

\(\log_{\sqrt{a}} c = 2b \Leftrightarrow
\sqrt{a}^{2b} = c \Leftrightarrow
(a^{1/2})^{2b} = c \Leftrightarrow
a^{2 \frac 12 b} = c \Leftrightarrow
a^b =c\)

sendo que esta última igualdade é, por hipótese, verdadeira. Assim, a afrimação inicial é também verdadeira, tal como se pretendia demonstrar.

[nsm]

Esta alínea também não está a dar bem:
\(log_{1/a}(\sqrt{a}/c)= -1/2 + b\)

[Sobolev]

Novamente, basta partir da definição de logaritmo e ir aplicando as regras operatórias das potências.

\(\log_{1/a}(\sqrt{a}/c) = -1/2+b \Leftrightarrow
(1/a)^{-1/2 + b} = \sqrt{a}/c \Leftrightarrow
(1/a)^{-1/2} \cdot (1/a)^b = a^{1/2} \cdot \frac{1}{c} \Leftrightarrow
a^{1/2} \cdot \frac{1}{a^b} = a^{1/2} \cdot \frac{1}{c} \Leftrightarrow
a^{1/2} \cdot \frac{1}{c} = a^{1/2} \cdot\frac{1}{c}\)