Fuvest soluções para log de (x^2-1) na base 2= log 2 na base (x^2-1)

[rogerioeas]

Consegui desenvolver igualando as bases e travei em {log de (x^2-1) na base 2}^2 - 1=0

Anexos

Foto da questão

[Eduardo Fernandes]

Olá rogerioeas!

Bem-vindo ao Fórum.

Em primeiro lugar temos que converter todos os logaritmos para a mesma base, utilizando a regra \(\log_a b=\frac{\log (b)}{\log(a)}\):

\(\log_2 {x^{2}-1} = \log_{x^{2}-1} 2 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \frac{\log_{10} {x^{2}-1}}{\log_{10} {2}}=\frac{\log_{10} {2}}{\log_{10} {x^{2}-1}} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow (\log_{10} {x^{2}-1})^{2}= (\log_{10} {2})^{2}\)

Se definirmos que \(\log_{10} {x^{2}-1}=y\) e \(\log_{10} {2}=k\), obtém-se a seguinte equação:

\(y^{2}=k^{2}\)

E que resolvendo em ordem a y dá as seguintes equações:

\(y=-k \vee y=k\)

Agora podemos resolver cada uma das equações individualmente:

\(\log_{10} {x^{2}-1}=-\log_{10} {2}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow \log_{10} {x^{2}-1} =\log_{10} {\frac{1}{2}} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x^{2}-1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x^{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(\log_{10} {x^{2}-1}=\log_{10} {2} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x^{2}-1= {2} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x^{2}=3 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x= \pm \sqrt{3}\)

Pode-se concluir então que esta equação tem 4 soluções \(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\) e \(\pm \sqrt{3}\)

Podes confirmar que a resolução está certa aqui

Alguma dúvida diz
Cumprimentos,
Eduardo Fernandes

[rogerioeas]

Muito obrigado