Função exponencial- resolução de equação [resolvida]
04 set 2014, 19:41
\(e^{x}-e^{-x}=4\)
Alguém me pode ajudar na resolução desta equação?
Alguém me pode ajudar na resolução desta equação?
Re: Função exponencial- resolução de equação
05 set 2014, 10:29
\(e^{x}-e^{-x}=4\)
\(e^x.(e^{x}-e^{-x})=4e^x\)
\(e^{2x}-1=4e^x\)
\(e^{2x}-4e^x-1=0\)
Que é uma equação quadrática em \(z=e^x\)
\((e^{x})^2-4e^x-1=0\)
\(z^2-4z-1=0\)
Podemos resolver em ordem a z
\(z=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\)
\(z=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\)
\(z=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\)
\(z=2\pm \sqrt{5}\)
E depois temos que \(x=ln(z)\)
Ou seja,
\(x=ln(2\pm \sqrt{5})\)
Como \(\sqrt{5}>2\), existe apenas uma solução, pois na outra o argumento do logaritmo era negativo.
Assim,
\(x=ln(2+ \sqrt{5})\)
\(e^x.(e^{x}-e^{-x})=4e^x\)
\(e^{2x}-1=4e^x\)
\(e^{2x}-4e^x-1=0\)
Que é uma equação quadrática em \(z=e^x\)
\((e^{x})^2-4e^x-1=0\)
\(z^2-4z-1=0\)
Podemos resolver em ordem a z
\(z=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\)
\(z=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\)
\(z=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\)
\(z=2\pm \sqrt{5}\)
E depois temos que \(x=ln(z)\)
Ou seja,
\(x=ln(2\pm \sqrt{5})\)
Como \(\sqrt{5}>2\), existe apenas uma solução, pois na outra o argumento do logaritmo era negativo.
Assim,
\(x=ln(2+ \sqrt{5})\)
Re: Função exponencial- resolução de equação
05 set 2014, 14:42
Muito obrigada pela resposta. Percebi agora onde errava.
Re: Função exponencial- resolução de equação
05 set 2014, 18:21
Permitam-me que adicione a mesma resolução mas por outro ponto de vista:
Se usarmos a substituição x= Ln(z), virá após a substituição:
\(e^{x}-e^{-x}=4\Leftrightarrow z-z^{-1}=4\)
e para z <> 0
\(\Leftrightarrow z^{2}-4z-1=0\Leftrightarrow z=2\pm \sqrt{5}\Leftrightarrow x=Ln(2\pm \sqrt{5})\)
Se usarmos a substituição x= Ln(z), virá após a substituição:
\(e^{x}-e^{-x}=4\Leftrightarrow z-z^{-1}=4\)
e para z <> 0
\(\Leftrightarrow z^{2}-4z-1=0\Leftrightarrow z=2\pm \sqrt{5}\Leftrightarrow x=Ln(2\pm \sqrt{5})\)