Diferença entre funções iguais e equivalentes

[Yuri94]

Pessoal, uma dúvida simples, qual a diferença entre uma função equivalente f(x) <-> g(x) e uma função igual à outra?

[Sobolev]

Duas funções são iguais num certo subconjunto dos seus domínios se forem iguais em todos os pontos desse conjunto. Relativamente ao conceito de equivalência, depende de escolher uma "relação de equivalência" que seja adequada a cada situação. Por exemplo, no contexto da teoria da integração usa-se muitas vezes a seguinte relação de equivalência: " duas funções são equivalentes (ou pertencem à mesma classe de equivalência) se forem iguais em quase toda a parte (iguais em todos os pontos execepto possivelmente num conjunto de medida nula)". Mas este é apenas um exemplo de relação de equivalência...