Operações aritméticas com logaritmos e raízes

[Breno Vaz Pereira]

Estou tendo sérias dificuldades com esse problema. Não sei se tenho que transformar base 2 em base 10, ou multiplicar primeiro para depois fazer a decomposição dos logaritmos.

Anexos

[pedrodaniel10]

Olá!

\(\sqrt[3]{8\sqrt{7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4}}}=2\cdot (7^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot (3^{\frac{6}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot \left ( \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2} \right )^{\frac{1}{3}}=2\cdot 7^{\frac{5}{6}}\cdot 3\cdot \frac{7^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{6\cdot 7^{\frac{5}{6}}\cdot 7^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{6\cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}}\)

\(\log_2 \left (\frac{6\cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}} \right )= \log_2\left ( 2\cdot 3\cdot 7 \right )-\log_2\left ( 2^{\frac{1}{3}} \right )=\frac{\log (2\cdot 3\cdot 7)}{\log (2)}-\frac{1}{3}=\frac{\log(2)+\log(3)+\log(7)}{\log(2)}-\frac{1}{3}=\frac{0,30+0,48+0,85}{0,30}-\frac{1}{3}=5,10\)

Resposta C)

[Breno Vaz Pereira]

Olá!

\(\sqrt[3]{8\sqrt{7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4}}}=2\cdot (7^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot (3^{\frac{6}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot \left ( \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2} \right )^{\frac{1}{3}}=2\cdot 7^{\frac{5}{6}}\cdot 3\cdot \frac{7^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{6\cdot 7^{\frac{5}{6}}\cdot 7^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{6\cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}}\)

\(\log_2 \left (\frac{6\cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}} \right )= \log_2\left ( 2\cdot 3\cdot 7 \right )-\log_2\left ( 2^{\frac{1}{3}} \right )=\frac{\log (2\cdot 3\cdot 7)}{\log (2)}-\frac{1}{3}=\frac{\log(2)+\log(3)+\log(7)}{\log(2)}-\frac{1}{3}=\frac{0,30+0,48+0,85}{0,30}-\frac{1}{3}=5,10\)

Resposta C)

Obrigado pela resposta, mas não compreendi algumas coisas

[pedrodaniel10]

Poderia dizer o que não compreendeu ? Assim talvez possa ajudar.

[Breno Vaz Pereira]

Poderia dizer o que não compreendeu ? Assim talvez possa ajudar.

Nessa parte eu não entendi como você transformou "base 2" em "base 10" e como "1/3" se transformou de potencia em subtração

Anexos

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[pedrodaniel10]

Olá.
Eis algumas propriedades das operações com logaritmos.

\(\log \left (\frac{x}{y} \right )= \log (x)- \log(y)\)

Deste modo:
\(\log_2 \left (\frac{6 \cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}} \right )= \log_2\left (6 \cdot 7 \right )-\log_2\left ( 2^{\frac{1}{3}}\right )\)

Outra propriedade: \(\log_a \left (a^x \right )=x\), por isso:
\(\log_2\left ( 2^{\frac{1}{3}}\right )=\frac{1}{3}\)

Na expressão fica:
\(\log_2\left (6 \cdot 7 \right )-\frac{1}{3}\)

Se fatorizar-mos o 6 de modo a ficar apenas com números de logaritmos que temos: \(6 \times 7\)\(=2 \times 3 \times 7\)
\(\log_2\left (2 \cdot 3 \cdot 7 \right )-\frac{1}{3}\)

Chegados aqui transforma-se o log na base de 2 em base de 10
\(\frac{\log (2\cdot 3\cdot 7)}{\log (2)}-\frac{1}{3}\)

Espero que tenha ajudado. Entendeu tudo direitinho antes dos logaritmos, na parte de simplificar a própria expressão ? Qualquer dúvida não hesite em pedir.

[Breno Vaz Pereira]

Agora sim. Foram tantas expressões que me passou despercebido o truque de "tombar" o 1/3, tornando-o multiplicação em vez de potência.

Obrigado! Só mais uma coisa: Na primeira parte você elevou tudo a "1/3" de um jeito que você eliminou as potências depois. Isso é treino? Ou tem algum truque?

[pedrodaniel10]

Não, não é nenhum truque, apenas reescrevi a expressão em forma de expoente.


\(\sqrt[3]{8\sqrt{7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4}}}=\left (8\sqrt{7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4}} \right )^{\frac{1}{3}}=\left (8\left (7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{3}}=2\left (7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4} \right )^{\frac{1}{6}}\)

Talvez se perceba melhor assim.
Como está tudo multiplicando, todos os expoentes multiplicam entre si.