Inequação Modular: |3 - x^(- 1)| < 1

[danjr5]

Olá pessoal!
Será que me podem ajudar a resolver esta inequação?

\(|3 - x^{- 1}|< 1\)

é uma inequação simples mas há algum tempo que não tenho matemática e já nao me lembro de alguns "truques"...
Obrigadaa!

Editado pela última vez por danjr5 em 05 jan 2013, 00:29, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título e LaTeX

[danjr5]

Patrii,
a inequação não ficou muito clara, poderia confirmar se é essa?

\(|3 - x^{- 1}| < 1\)

[patrii]

é essa mesma! obrigada desde já )

[danjr5]

Patrii,
não estou muito certo da resolução.

Definição:
Se \(|x| \, < \, k\) então, \(- k \, < \, x \, < \, k\)

Segue que,
\(\fbox{- 1 \, < \, 3 - x^{- 1} \, < \, 1}\)

\(- 1 - 3 \, < \, - x^{- 1} \, < \, 1 - 3\)

\(- 4 \, < \, - \frac{1}{x} \, < \, - 2\)

Então,

I)
\(- 4 \, < - \frac{1}{x}\)

\(- 4 + \frac{1}{x} \, < \, 0\)

\(\fbox{\frac{- 4x + 1}{x} \, < \, 0}\)

i) \(- 4x + 1 \, < \, 0\)

\(- 4x \, < \, - 1\)

\(x \, > \, \frac{1}{4}\)

ii) \(x \, < \, 0\)


\(S_1 = \left \{ x \in \mathbb{R} / x \, < \, 0 \, ou \, x > \, \frac{1}{4} \right \}\)



II)
\(- \frac{1}{x} \, < - 2\)

\(- \frac{1}{x} + 2 \, < \, 0\)

\(\fbox{\frac{- 1 + 2x}{x} \, < \, 0}\)

i) \(- 1 + 2x \, < \, 0\)

\(2x \, < \, 1\)

\(x \, < \, \frac{1}{2}\)

ii) \(x \, < \, 0\)


\(S_2 = \left \{ x \in \mathbb{R} / 0 \, < \, x \, < \, \frac{1}{2} \right \}\)


Fazendo a intersecção entre \(S_1\) e \(S_2\), temos:

\(\fbox{\fbox{S_1 \cap S_2 = \left \{ x \in \mathbb{R} / \, \frac{1}{4} \, < \, x < \, \frac{1}{2} \right \}}}\)

Como disse anteriormente, não tenho certeza. Por acaso você tem o gabarito??