Davi0p Escreveu:
Em uma fábrica de autopeças, o número N de unidades produzidas diariamente por um operário novato, após
ele ter trabalhado t dias, admite como modelo a função N(t) = 64(1− 5^kt) (cinco elevado a kt), sendo k uma constante real.
Após 3 dias no emprego, o operário está produzindo 56 unidades por dia.
1. Determine o valor de k.
2. Determine o número mínimo de dias necessários para que este operário atinja uma produção diária de 63 unidades.
seja \(t=3\) e \(N(3)=56\) :
\(56=64-64*5^{3k}\)
\(5^{3k}=\frac{1}{8}\)
\(5^{3k}=8^{-1}\)
Aplique \(\log_{5}\) em ambos os lados:
\(3k={\log_{5}}^{(8^{-1})}\)
\(3k=-{\log_{5}}^{8}\)
\(k=-\frac{{\log_{5}}^{8}}{3}\)
como : \({\log_{5}}^{( 5^{3})}=3\) segue que:
\(k=-\frac{{\log_{5}}^{(2)^3}}{\log_{5}^{(5)^3}}\)
\(k=-\frac{{\log_{5}}^{2}}{{\log_{5}}^{5}}\)
\(k={-\log_{5}}^{2}\)
2.
\(N(t)=63\) e \(k={-\log_{5}}^{2}\) :
\(63=64-64*5^{(-{\log_{5}}^{2})* t}\)
\(5^{(-{\log_{5}}^{2})* t}=\frac{1}{64}\)
\(5^{(-{\log_{5}}^{2})* t}=8^{-2}\)
Aplique \(\log_{5}\) em ambos os lados:
\((-{\log_{5}}^{2})* t={\log_{5}}^{(8)^{-2}}\)
\(t=\frac{{\log_{5}}^{(8)^{-2}}}{-{\log_{5}}^{2}}\)
\(t=2*\frac{{\log_{5}}^{8}}{{\log_{5}}^{2}}\)
\(t=2*\log_{2}^{8} \;\; \Rightarrow \;\; t=2*{\log_{2}}^{(2)^{3}} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; t=2*3*{log_{2}}^{2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; t=6\)
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