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Boa noite. Tenho dúvidas nestas 2 equações.
A solução da primeira é \(x=3\) e a 2ª é \(x=5\), arredondado às unidades.

1:

considerando as condições de existência do logaritmo : \(\sqrt{x} >0 \;\;\; x>0\) e tbm a restrição do exercício \(x>1\) .

Olhando percebemos que uma raiz é \(x=1\) (não convém pela restrição), já que zeraria os dois membros, então vamos resolver para \(x \neq 1\)

\(\log_{2}(\sqrt{x})*(x+1)=\log_{2}(x)*(x-1)\)


\(\frac{1}{2}*\log_{2}(x)*(x+1)=\log_{2}(x)*(x-1)\)


\(\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(x)}=\frac{x-1}{\frac{x+1}{2}}\)


\(\frac{x+1}{2}=x-1\)

\(x+1=2x-2\)


\(x=3\) , é o resultado pois obedece as restrições.


2:

\(e^{1-\frac{x}{2}}+e^{(1-\frac{x}{2})^{-1}}=\frac{9}{2}\)



chamando \(u=e^{1-\frac{x}{2}}\) :


\(u+u^{-1}=\frac{9}{2}\)


\(2u^2-9u=-2\)


resolvendo encontrará : \(u_{1}=\frac{9+\sqrt{65}}{4}\) e \(u_{2}= \frac{9-\sqrt{65}}{4}\).


voltando a variável "x":


\(u_{1}=e^{1-\frac{x}{2}}=\frac{9+\sqrt{65}}{4} \;\;\; x=2-2*\ln(\frac{9+\sqrt{65}}{4})\) , não convém pela restrição.



\(u_{2}=e^{1-\frac{x}{2}}=\frac{9-\sqrt{65}}{4} \;\;\; x=2-2*\ln(\frac{9-\sqrt{65}}{4})\), convém pois equivale aproximadamente 4,9011...