Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(e^{x}-e^{-x}=4\)

Alguém me pode ajudar na resolução desta equação?

\(e^{x}-e^{-x}=4\)

\(e^x.(e^{x}-e^{-x})=4e^x\)
\(e^{2x}-1=4e^x\)
\(e^{2x}-4e^x-1=0\)

Que é uma equação quadrática em \(z=e^x\)

\((e^{x})^2-4e^x-1=0\)
\(z^2-4z-1=0\)

Podemos resolver em ordem a z

\(z=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\)
\(z=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\)
\(z=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\)
\(z=2\pm \sqrt{5}\)

E depois temos que \(x=ln(z)\)

Ou seja,

\(x=ln(2\pm \sqrt{5})\)

Como \(\sqrt{5}>2\), existe apenas uma solução, pois na outra o argumento do logaritmo era negativo.

Assim,
\(x=ln(2+ \sqrt{5})\)

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Muito obrigada pela resposta. Percebi agora onde errava.

Permitam-me que adicione a mesma resolução mas por outro ponto de vista:

Se usarmos a substituição x= Ln(z), virá após a substituição:

\(e^{x}-e^{-x}=4\Leftrightarrow z-z^{-1}=4\)

e para z <> 0

\(\Leftrightarrow z^{2}-4z-1=0\Leftrightarrow z=2\pm \sqrt{5}\Leftrightarrow x=Ln(2\pm \sqrt{5})\)

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F. Martins