Fórum de Matemática
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\(Se\ x\ =\log_{c}(ab)\ ,\ y=\log_{b}(ac)\ e\ z\ = \log_{a}(bc) \ prove\ que:\\ \\ 1/x+1 \ +\ 1/y+1\ + 1/z+1\ =\ 1.\)

É isto

\(1/x+1 \ +\ 1/y+1\ + 1/z+1\ =\ 1\)

OU

isto

\(1/(x+1) \ +\ 1/(y+1)\ + 1/(z+1)\ =\ 1\)

???

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

...

É o segundo caso:

1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = 1

\(\frac{1}{1+\log_{c}(ab)}+\frac{1}{1+\log_{b}(ac)}+\frac{1}{1+\log_{a}(bc)}=1\)

lembre-se que

\(log_{y}(x)=\frac{ln(x)}{ln(y)}\)

\(log(a.b)=log(a)+log(b)\)

então

\(\frac{1}{1+\log_{c}(ab)}+\frac{1}{1+\log_{b}(ac)}+\frac{1}{1+\log_{a}(bc)}=1\\ \frac{1}{1+\frac{\ln(ab)}{\ln(c)}}+\frac{1}{1+\frac{\ln(ac)}{\ln(b)}}+\frac{1}{1+\frac{\ln(bc)}{\ln(a)}}=1\\ \frac{1}{1+\frac{\ln(a)+\ln(b)}{\ln(c)}}+\frac{1}{1+\frac{\ln(a)+\ln(c)}{\ln(b)}}+\frac{1}{1+\frac{\ln(b)+\ln(c)}{\ln(a)}}=1\\ \frac{\ln(c)}{\ln(c)+\ln(a)+\ln(b)}+\frac{\ln(b)}{\ln(b)+\ln(a)+\ln(c)}+\frac{\ln(a)}{\ln(b)+\ln(b)+\ln(c)}=1\)

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\(\frac{\ln(c)+\ln(b)+\ln(a)}{\ln(a)+\ln(b)+\ln(c)}=1\)

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João Pimentel Ferreira
 
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