Inequação quociente: 1/(x - 4) < 2/(x + 3)

[danjr5]

Veja a seguinte inequação:

\(\frac{1}{x - 4} < \frac{2}{x + 3}\)

Este exercício está no livro Fundamentos da Matemática, volume 1.

A resposta é a seguinte: \(S = \left \{ x \in \mathbb{R} / - 3 < x < 4 \; \text{ou} \; x > 11 \right \}\)


Não consigo chegar a essa resposta de nenhuma maneira, pois esta inequação quando tento resolve-la, vira inequação de primeiro grau simples...

Editado pela última vez por danjr5 em 02 jun 2013, 23:40, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título e inserir LaTeX

[danjr5]

\(\frac{1}{x - 4} < \frac{2}{x + 3}\)

\(\frac{1}{x - 4_{/(x + 3)}} - \frac{2}{x + 3_{/(x - 4)}} < 0\)

\(\frac{x + 3 - 2(x - 4)}{(x + 3)(x - 4)} < 0\)

\(\frac{x + 3 - 2x + 8}{(x + 3)(x - 4)} < 0\)

\(\frac{- x + 11}{(x + 3)(x - 4)} < 0\)

Estudemos os sinais!

Equação I: \(- x + 11 < 0\)

\(\\ - x + 11 < 0 \\ - x < - 11 \\ x > 11\)


Equação II: \((x + 3)(x - 4) < 0\)

x + 3 = 0
x = - 3

E,

x - 4 = 0
x = 4


I ____+___________+________+____(11)___-___
II ___+____(- 3)___-____(4)___+_________+___
S ___+____(- 3)___-____(4)___+___(11)___-____

Uma vez que o sinal da inequação é MENOR 'pegamos' o sinal de MENOS em nossa 'tabela', então:

I ____+___________+________+____(11)___-___
II ___+____(- 3)___-____(4)___+_________+___
S ___+____(- 3)___-____(4)___+___(11)___-____

\(\fbox{S = \left \{ x \in \mathbb{R} / - 3 < x < 4 \; \cup \; x > 11 \right \}}\)

[Caio Graco]

Não pode fazer dessa maneira??

\(\frac{1}{x-4}<\frac{2}{x+3}\)

\(\frac{1(x+3)}{1}<\frac{2(x-4)}{1}\)

\((x+3)<2(x-4)\)

\(x+3<2x-8\)

\(-2x+x<-8-3\)

\(-x<-11\)

\(x>11\)

Ela vira uma inequação de primeiro grau simples...

?????

[danjr5]

Não!

Talvez essa explicação o ajude, veja: http://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=72&t=920

[Caio Graco]

Ainda não entendi porque não pode multiplicar em x...

Não entendi porque esse processo é impossível... O que me impede de fazer dessa maneira?

[danjr5]

Caio,
ao multiplicar em "x" o denominador desaparece, no entanto, também deve estudar seu sinal!

[Caio Graco]

Não há uma resposta mais precisa e exata?? Dessa maneira qualquer inequação pode ser quociente então:

\(4x+3<2x+8\)

Posso fazer assim:

\(2x<5\)

Ou assim:

\(\frac{4x+3}{2x+8}<0\)

Tem que haver algum princípio que determine isso...

[danjr5]

Caio,
inequação quociente é representada por uma divisão;
inequação produto é representada por uma multiplicação.

Não confunda!