função logarítmica com mais de 1 variável

[guinho]

Se P,k e m são números reais maiores que 1 , e a e b ~sao raízes da equação x²-px+k^m=0,determine o valor de LOGa^a+LOGa^b+LOGb^b+LOGb^a (tudo na base k )
eu tentei usando cardano na equação mas ainda assim não cheguei a uma conclusão

[Sobolev]

Em primeiro lugar pode usar as regras operatórias dos logaritmos para obter

\(\log_k a^a + \log_k a^b +\log_k b^b \log_k b^a = \log_k (a^a a^b b^b b^a) = \log_k (ab)^{ab} = ab \log_k (ab)\)

Por outro lado,

\(x^2-px -k^m = 0 \Leftrightarrow x = \frac{p \pm \sqrt{p^2 - 4 k^m}}{2}\)

pelo que

\(ab = \frac{p + \sqrt{p^2 - 4 k^m}}{2} \times \frac{p - \sqrt{p^2 - 4 k^m}}{2} = \cdots = k^m\).

Finalmente,

\(ab \log_k (ab) = k^m \log_k k^m= m k^m\)