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Funcao Logaritmos f(x) log
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=72&t=11654		 Página 1 de 1
Autor:  Eurico [ 21 ago 2016, 01:29 ]
Título da Pergunta:  Funcao Logaritmos f(x) log
A soma dos valores inteiros de x para os quais função \(f(x) = \log_{2x - 1} \left ( 1 - \frac{x}{4} \right )\) existe é igual a?
Autor:  danjr5 [ 12 Oct 2016, 12:33 ]
Título da Pergunta:  Re: Funcao Logaritmos f(x) log
Eurico Escreveu:
A soma dos valores inteiros de x para os quais função \(f(x) = \log_{2x - 1} \left ( 1 - \frac{x}{4} \right )\) existe é igual a?


Olá Eurico, de acordo com a definição de logaritmos, \(\mathsf{0 < a \neq 1}\) e \(\mathsf{b > 0}\); onde \(\mathsf{y = \log_a b}\).

Isto posto, temos o seguinte sistema: \(\begin{cases} \mathsf{0 < 2x - 1 \neq 0 \quad \qquad (i)} \\ \mathsf{1 - \frac{x}{4} > 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (ii)} \end{cases}\).

Resolvendo \(\mathsf{(i)}\):

\(\mathsf{2x - 1 > 0}\)

\(\mathsf{2x > 1}\)

\(\mathsf{x > \frac{1}{2}}\)

Mas,

\(\\ \mathsf{2x - 1 \neq 1} \\\\ \mathsf{2x \neq 2} \\\\ \mathsf{x \neq 1}\)

Resolvendo \(\mathsf{(ii)}\):

\(\mathsf{1 - \frac{x}{4} > 0}\)

\(\mathsf{\frac{4 - x}{4} > 0}\)

\(\mathsf{4 - x > 0}\)

\(\mathsf{- x > - 4}\)

\(\mathsf{x < 4}\)


Por fim, fazemos o estudo do quadro de sinais. Segue,

(i) ___-_____(1/2)____+_____________+____
(ii)___+_____________+_______(4)____-_____
S ____-_____(1/2)____+______(4)____-_____

Portanto, \(\mathsf{S = \left \{ x \in \mathbb{Z} \ | \ \frac{1}{2} < x < 4 \right \}}\). Ou, \(\mathsf{S = \left \{ 1, 2, 3 \right \}}\). Todavia, não devemos considerar \(\mathsf{x = 1}\), pois vimos que \(\mathsf{x \neq 1}\).

Daí, fica fácil notar que \(\mathsf{2}\) e \(\mathsf{3}\) são os inteiros que satisfazem a condição de existência da função logarítmica em questão.

Logo, \(\mathsf{5 \ (2 + 3)}\) é a resposta procurada!
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